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1、1.2 偶然误差的处理在这一节里，我们假定在没有系统误差存在的情况下， 来讨论偶然误差问题、测量结果的最佳值多次测量的平均值对某一物理量进行测量时， 最好进行多次重复测量。 根据多次重复测量的结 果，可能获得一个最接近真值的最佳值。在相同条件下，对某物理量 x 进行了 n 次重复测量，其测量值分别当测量次数无限增多时，根据偶然误差的性质可以证明：该平均值作为测量的结果。、算术平均绝对误差真值无法得到， 误差也就无法估算。 由于平均值是最佳值， 可以把它作为近 真值来估算误差。 一般定义测量值与平均值之差为“偏差”或“离差”， 它们与 误差是有区别的。然而当测量次数很多时， “偏差”会接近误差。
2、 在以下讨论中， 不去严格区分“偏差”和误差，把它们统称为误差。取量结果表达式可写为三、标准误差方均根误差 a在现代实验测量中， 通常用标准误差来衡量一组测量值的精密度， 标准误差 就是均方根误差。物理量 x 的标准误差用 x 表示，它的定义是：当测量次数无 限多时，有测量次数不可能无限多，根据误差理论，当测量次数有限时， (1-4) 式应改 写成：(1-5) 式是 n 次重复测量中单次测量的标准误差， n次测量结果平均当偶然误差用标准误差来表示时，测量结果应写为四、相对误差我们把测量结果及其偶然误差写为 xx 的形式，其中 x 是测量值，它可 以是一次测量值，也可以是多次测量的平均值； x
3、是绝对误差，它可以是一次 测量中绝对误差的绝对值， 也可以是平均绝对误差或标准误差。 在对同一对象采 用不同精度的仪器或测量方法来测量时， x 能够表示出测量的不同精确度。但 对不同对象进行测量时， 却反映不出不同的精确度。 例如， 用米尺测量两物体的 长度，测量结果为：x1=100.00 0.05cm，x2=10.00 0.05cm，两者的绝对误差相同， 均为 0.05cm， 但误差点测量值的比例不同，前者的精确度高于后者。因此，引入相对误差，它 可以评价上述两测量结果精确度的差别。 相对误差通常用百分比表示， 所以又称 为百分比误差。相对误差 E 定义为(1-8) 式中的 x 通常取平均值
4、，也可以用公认值或理论值代替。例 对某电压测量的数据处理 ( 见表 1-1)表 1-1 电压的测量在计算过程中， 误差一般取一位且应与测量值的尾位对齐， 误差的尾数只进 不退。本例中的偶然误差分别用平均绝对误差、 标准误差、平均标准误差来表示时， 其对应的测量结果为U=10.000.02V；U=10.000.03V；U=10.000.02V。五、间接测量的误差估算物理实验中的被测量 N，往往通过与直接测量量的函数关系计算出来。我们 称 N 为间接测量量或复合量。计算间接测量量值时， 是将各直接测量量的平均值代入有关函数式求出。 由 于各直接测量量的平均值均有误差， 因此计算的结果也必然具有一定
5、的误差， 这 称为误差的传递，其误差的大小取决于各直测量误差的大小以及函数的具体形 式。设间接测量量与若干个直测量有下述函数关系：N f(x ，y，)(1-9)x，y，表示直测量。对上式求全微分，得：式中， dx，dy，和 dN 都是微小改变量，可以看成是各量值的误差，并分别 用 x，y，和 N 代替它们，则绝对误差公式表示为(1-11) 式称为函数误差算术传递的基本公式。 将(1-10) 式两边平方后略去高 阶小项，得根据 (1-11) 式和(1-13) 式，我们把常用函数的误差算术传递公式和标准误差 传递公式列成表 1-2 以备查用。表 1-2 常用函数的误差传递公式例 测得一金属圆柱体的质量 m=162.380.01g ，长度 1=39.920.01mm、 直径 d=24.927 0.002mm，求其密度和误差若题设中的误差为平均绝对误差，用误差算术传递公式：求得其密度为 =(8.335 0.003)g cm3若题设中的误差为标准误差，用标准误差传递公式：求得其密度为 =(8.335 0.003)g cm3
