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1、现代控制理论基础讲义 第四章 动态系统的稳定性分析Chapter4动态系统的稳定性分析稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。 系统的稳定性是系统本身所固有的特性，与外部控制无关。所以讨论稳定性时一般只考虑的自由系统。经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数的极点分布、（劳斯）判据、（胡尔维茨）判据、（奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。现代控制理论：用状态空间描述线性时变系统或非线性时变系统根据系数矩阵的特征值即
2、系统极点的分布来判别系统的稳定性（求出的是传递函数反映的“既能控又能观”的极点，求出的是没有反映在传递函数中的其他三部分的极点）。此外还可利用(-李雅普诺夫间接法)、构造标量函数(直接法)等来判别。4.1 稳定性的意义考虑阶自由系统：状态向量：， 向量：对，若存在某一状态点，使得对所有的，都不随时间变化，即，则称为系统的平衡状态（平衡点）。 一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。平衡点大多数在状态空间的原点。若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换将平衡点移到原点。对线性定常系统，根据平衡点定义，当，则只有一个平衡点。当，有多个平衡点，而是其中一个平衡点。定义4
3、-2（稳定，临界稳定）对任意给定的“小距离” （无论多么小的），总可以根据给定的和初始时间找到一个相应“半径”，只要系统初态与平衡点的距离小于“半径”即时，就有任何时，其状态与平衡点的距离小于给定的“小距离”，即，则称平衡状态是稳定（李氏稳定）。如果不需根据初始时刻来寻找“半径” ，则称一致稳定（）。称Euclid范数(多维空间距离)。这就是说：根据指定的小和系统的初始状态，以平衡点为圆心划定一个半径为的范围，以后系统的状态就只能在指定的范围内运行，在平衡点附近振荡，称为临界稳定。如果我们只根据指定的小就能划定一个半径为的范围，使系统只能在指定的范围内运行，称为一致稳定。图4-1（a）(b)
4、小球的稳定性P74 图4-2（a）李氏稳定P75定义4-3（渐近稳定，局部稳定）系统不仅稳定，而且系统状态趋于平衡点，即，则称平衡状态是渐近稳定（）。如果不需根据初始时刻来寻找“半径” ，则称一致渐近稳定。 图4-2(b)渐进稳定（局部稳定） 图4-2（c）全局稳定 图4-2(d)不稳定P75物理意义：如果系统状态开始在平衡点附近，则系统不会振荡，其状态轨线最终会落在平衡点。只有渐近稳定才是工程意义上的稳定。但渐近稳定仍然是某平衡点附近的稳定（局部稳定），并不意味着整个系统就能运行。定义4-4 若对任意初始状态，无需要求系统初始处于平衡点附近，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定(全局稳定)(
5、)物理意义：无论开始系统状态在何处，其状态轨线最终会落在平衡点。全局稳定时，系统只能有一个平衡点。对线性系统，渐近稳定必定是全局稳定；对非线性系统，多数为局部渐近稳定。定义4-5（不稳定） 对任意给定的“小距离” ，无论 “半径”怎么小，系统至少有一个初态，当，则有任何时候的状态与平衡点的距离大于给定的“小距离”，则称平衡状态是不稳定（李氏不稳定）。几何意义是：无论系统初始状态如何接近平衡点，至少有一个状态远离平衡点，不会回到原平衡点或原平衡点附近。 4.2 间接法4.2.1 线性定常系统的稳定性通过求解系数矩阵的特征值（系统极点）来判断系统的稳定性称为间接法。若阶线性定常系统，平衡点为（1）
6、是“临界稳定”的充要条件是的约当标准形中实部为零的特征值所对应的约当块是一维的，且其余特征值均有负实部；（2）是“渐近稳定”的充要条件是的特征值均有负实部；（3）是“不稳定”的充要条件是至少有一个特征值具有正实部；定理4-1 状态稳定性（内部稳定性）判别定理（间接法）事实上，与其约当标准形有相同的特征值，且有 ，故讨论的有界性与讨论的有界性是等价的。例4-1 判断平衡点的稳定性。解：的特征值 ，所对应的约当块是二维的，根讨论：（1）据上述结论，当是约当标准型时，是不稳定平衡点。例4-1：，是唯一平衡点。的特征值，但所对应的约当块是二维的，方程解为，显然，当，有，表明是不稳定平衡点。例4-2：，
7、可以看成两个一维约当块的组合。一个约当块的特征值，另一约当块的特征值为。方程的解为，显然当，有界，表明是“临界稳定”平衡点。（2）定义：满足的称为的特征值，。对于，其解为，或者写成， 由此不难得出：“渐近稳定”的结论（2）和“不稳定”的结论（3）。 在经典控制理论中，根据传递函数来讨论系统的稳定性，即主要关心输出稳定性。若输入有界，输出也有界，称为“有界输入有界输出稳定”稳定。设维单输入、单输出线性定常系统的传递函数为： 与不存在公约式。是传递函数的零点多项式，是的零点；是传递函数的极点多项式，是的极点；于是，系统是稳定的充要条件是的极点多项式的个极点均有负实部。另一方面，系统的极点多项式是，
8、的特征值就是系统的个极点，他决定系统的状态稳定性。有可能，只有当时，与的解完全相同，一般情况下，的解少于的解，的解包含的解，这表明系统的状态稳定性与稳定性并不等价。有以下结论：的个极点决定系统的输入输出（）稳定性；的个极点决定系统的状态稳定性。（1） 当与的解完全相同时，此时若系统的状态稳定，必有系统稳定；（2）当的解少于的解，的解包含的解时，这时系统稳定，但不一定状态稳定，即状态稳定稳定，稳定状态稳定。例4-3讨论系统在的状态稳定性和稳定性。解：系统多项式的极点为，其解为，显然，当,因此系统状态只是稳定是临界稳定，不是渐近稳定。故是稳定（临界稳定）平衡点。，只有一个极点（注意分子零点和分母极
9、点相消），系统是稳定。展开，我们看到，正是不能控部分的零点（）与极点（）相消，不能在传递函数中反映出来。因此，传递函数的极点包含在（并不多于）系统多项式的极点。讨论：状态稳定包含了稳定，而稳定并不包含状态稳定。只有状态稳定的系统才是真正稳定的系统，而稳定的系统，有可能内部并不稳定，只根据设计出来的系统不一定能正常工作。这是因为只反映系统既能控又能观部分的信息，如果不稳定的部分恰在不能控、不能观部分，则并不能反映出来。这又一次说明用状态空间比传递函数（阵）能更全面、更深入的描述系统。此外，由于的方法是用数据的第一列的“正负符号”来判断方程解的符号，所以用判据来分析“系统的极点多项式”以及“传递函
10、数的极点多项式”仍然有效。例4-4讨论水池系统，的状态稳定性和稳定性，并求出，时的解。解：令得到是平衡点。令，的极点为，所以是“渐进稳定”平衡点。，系统是稳定。解为：第一项是初条件的影响，是瞬态解，第二项积分项是输入的影响，是稳态解。； ， 其稳态解为：第一项反映常数项的作用结果，第二项反映正弦项输入的结果。4.2.2 非线性系统的稳定性间接法稳定性判别定理只能用于线性系统，因此，对于非线性系统，必须先作线性化处理，是高阶导数项。，令 ，则 在系统一次近似的线性化方程基础上，给出如下结论：#（1）的特征值均有负实部，则状态稳定，与无关；（2）的特征值至少有一个正实部，则不稳定，与无关；（3）的
11、特征值至少有一个为，的稳定性与无关，但不能由来决定。例4-4分析系统，平衡点的稳定性。解：系统为非线性系统，通常有多个平衡点。令，可求出系统的2个平衡点：将系统在处线性化：，其特征值，表明非线性系统在处不稳定。将系统在处线性化：，其特征值的实部为零，不能用来判断系统在处是否稳定。 *对于平衡点，我们还可以做坐标变换： ， ，将系统在处线性化：，其特征值的实部为零，不能用来判断系统在处是否稳定。4.3 函数法（直接法）4.3.1 稳定性的判别方法力学原理：消耗能量(能量减小)，吸收能量能量增加电学原理：放电(能量)，充电(能量)，但系统能量总是（1）若能量变化小于零，系统渐近稳定；（2）若能量变
12、化大于零，系统不稳定；（3）若能量变化等于零，系统“临界稳定”。构造一个标量函数作为虚构的广义能量函数（函数）。图4-3 RC电路的放电过程 P79定理4-2 设阶系统，平衡状态，如果存在一个对所有都有连续的一阶偏导数的正定的标量函数定义 （1）若负定（），则是渐近稳定（局部稳定）；若当时，则系统是全局稳定；（2）若正定（），则是不稳定；（3）若半负定（），则是稳定（临界稳定）；进一步：若，（不是状态方程的非零解），则是渐近稳定（局部稳定）；任何一个标量函数，只要满足稳定判据条件，都可以作为函数，都可用来判别系统的稳定性，这表明用途的广泛性；函数由状态变量所构成，其最简单形式是二次型（但不一定
13、是二次型）尽管函数不唯一，但系统是否稳定是个客观事实，结论必定是唯一的；找不到符合条件的函数，并不能确定系统是否稳定，如果用函数的符号不能确定，并不能判断系统就是不稳定的。例4-5试确定系统、，平衡点的稳定性。解：令，求得是唯一平衡点。试取 ，只在处， 有连续偏导数。当，有，是稳定平衡点；当，有，是不稳定平衡点；当，有，是稳定平衡点；表明所选可判定系统稳定性，是函数。 图4-4 渐进稳定 不稳定 李氏稳定 P81 例4-6试确定，平衡点的稳定性。解：采用函数法：令，求得是唯一平衡点。第一次取 有连续偏导数。符号不定，无法确定系统是否稳定，因此不是函数。第二次取 有连续偏导数，只要在 的“横轴”
14、上（不一定在原点），就有，因此是稳定平衡点，是函数。进一步，由于，但不恒等于0，因此是渐近稳定，又，因而是大范围渐近稳定。第三次取函数：根据定理可知是渐近稳定，所以是函数。可见函数并非唯一，无论怎样取，只要符合函数的条件，能判别平衡点的稳定性，他就是函数，结论是唯一的。此题仍然可以用采用“间接法”来判断系统的稳定性：系数矩阵为，根据方法，一阶和二阶系统，只要系数为正，系统就是稳定的。实际上。作业4-1：用间接法求出（例4-6）系统的解，由此说明是渐近稳定平衡点。例4-7设闭环系统如图4-5所示，试分析系统的稳定性。图4-5 双积分闭环系统解：用三种方法分析系统的稳定性经典法：由图列出即，取，并不影响讨论系统的稳定性，故其解为 这是临界稳定系统。函数法：设，于是，稳定性与输入无关，只考虑齐次方程 ，是唯一平衡点。试取 而且有连续偏导数根据定理可知系统是临界稳定，稳定在工程意义上是不稳定的，这与经典控制理论的结论是一致的。间接法：，显然，系统状态是振荡的，故是临界稳定平衡点，结论是一致的。例4-8试分析系统，平衡点的稳定性。解：非线性系统，不能采用“直接法求解”。令是唯一平衡点。试取，有连续偏导数。当，在的圆上，故是临界稳定平衡点；当，在的圆内，同上讨论，对状态方程的非零解，故是
