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1、相似三角形三角形相似的条件一周强化一、一周知识概述(一)相似三角形1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形用符号“”表示相似，读作“相似于”当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；由相似三角形的定义知如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例2、相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似
2、比具有顺序性例如ABCABC的对应边的比，即相似比为k，则ABCABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两个三角形相似判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似方法总结：（1）判定两个三角形相似，至少需要下列条件之一：两角对应相等；两边对应成比例且夹角相等；三条边对应成比例理解时，可类比全等三角形的判定方法在中，只要满足两个角对应相等，这两个
3、三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角(或补角)”都是相等的，这是常用的判定方法（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理（2）或判定定理（3）但是，在选择利用判定定理（2）时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等2、直角三角形相似的判定：（1）由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，或斜边和一条直角边对应成比例用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；（2）如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“
4、母子相似三角形”或“双直角三角形”，其应用较为广泛如图，可简单记为：在RtABC中，CDAB，则ABCCBDACD所以AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD.二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对
5、应边所夹的角是对应角2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：“平行线型”相似三角形，“相交线型”相似三角形，“旋转型”相似三角形从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形三、典型例题讲解1、寻找相似三角形例1、(吉林)将
6、两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：(1)图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出来分析：(1)在ABC内，有五个三角形，加上ABC与AFG，共有七个三角形(2)这是依据相似三角形判定定理来解决的计数问题由于“不包括全等”，图中还剩五个非直角三角形，考虑到题设中两个三角形摆放的随意性，1不一定等于2，而B=C=45，3、4都为钝角，又排除ABD与ACE相似，还剩三个三角形，这三个三角形相似解：(1)共有七个三角形，它们是ABD、ABE、ADE、ADC、AEC、ABC与AFG
7、(2)有相似三角形，它们是ABEDAE，DAEDCA，ABEDCA(或ABEDAEDCA)点拨：解决这类计数问题，一定要依据图形与定理，全面、周密思考，做到不重不漏，这类题有利于发散思维的培养和创新意识的形成；有兴趣的同学可继续探索一下本题中BD、DE、EC三条线段有何关系？2、画符合要求的相似三角形例2、(2001上海)在大小为44的正方形方格中，ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个A1B1C1，使得A1B1C1ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上（1）（2）分析：设单位正方形的边长为1，则ABC的三边为，从而根据相似三角形判定定理2或3
8、可画A1B1C1，易得点拨：在44的正方形方格中，满足题设的A1B1C1只能画出以上三个，若正方形方格数不加限制，则和ABC相似且不全等的三角形可以画无数个3、利用相似三角形定义求线段长例3、已知ABC中，AB=8，AC=6，点D，E分别在AB，AC上，如果以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为，求AD和AE的长分析：通过相似比，将AD，AE的长转化到方程中求解由于已知的两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应分类讨论解：如图(1)所示，当ADEABC时，有，AE=2如图(2)所示，当ADEACB时，小结：数形结合思想方法是解答有关相似三角
9、形问题的基本方法在解题时需借助图形深入理解数量之间的关系，并对问题进行全面的、进一步的分析与探索例4、已知ABC的重心G到BC边上的距离为5，那么BC边上的高为（）A5B12C10D15解析：因为G为ABC的重心，所以DGDA=13，因为GEBC，AFBC，所以GEAF，所以GEAF=DGDA=13，因为GE=5，所以AF=154、相似三角形的判定例5、根据下列各组条件，判定ABC和ABC是否相似，并说明理由(1)AB=3.5，BC=2.5，CA=4，AB=24.5，BC=17.5，CA=28；(2)A=35，B=104，C=44，A=35；(3)AB=3，BC=2.6，B=48，AB=1.5
10、，BC=1.3，B=48分析：(1)中所给出的是两个三角形中的六条边的长，考虑用“三边对应成比例”；(2)中给出的是两个三角形中的两组角，考虑用“两角对应相等”；(3)中给出的是两个三角形中的两组边、一组角，考虑用“两边对应成比例且夹角相等”解：(2)因为C=180AB=41，B=180AC=101，所以两个三角形中只有A=A，所以ABC与ABC不相似6、相似三角形的综合运用例6、如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F求证：(1)ADFEDB；(2)CD2=DEDF分析：(1)ADF与EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等
11、即可；(2)注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD，由结论(1)不难得出结论(2)证明：(1)DFAB，ADF=BDE=90，又FA=BA，F=B，ADFEDB(2)由(1)得，ADBD=DEDF又CD是RtABC斜边上的中线，AD=BD=CD故CD2=DEDF点拨：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的CDEFDC请同学们完成这一证明例7、如图，AD是ABC的角平分线，BEAD于E，CFAD于F 求证：分析：待证式中的四
12、条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证ABEACF，BDECDF，从中不难找到这个中间比证明：AD是ABC的角平分线，1=2BEAD，CFAD，3=4=90，ABEACF，点拨：当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；例8、如图，在ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟PBQ与ABC相似？分析：PBQ与ABC相似，顶点之间有两点可能的对应关系，一种是PBQABC，另一种是PBQCBA，所以我们要分两种情况加以解决。解：设P、Q同时出发后，经x秒，PBQ与ABC相似，则AP=2x，BQ=4x，PB=8-2x。(1)若PBQABC，则，即，x=2；(2)若PBQCBA，则，即，。答：经过2秒或秒，PBQ与ABC相似。
