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1、直线与圆的位置关系22. （2010黄冈）（6分）如图，点P为AABC的内心，延长AP芟ABC的外接圆于D, 在AC延长线上有一点E,满足AD2 =ABAE，求证：DE是。O的切线.A第20题图【答案】证明：连结DC, DO并延长交。O于F,连结AF.VAD2 =AB AE,ZBAD=ZDAE,AABADADAE,AZADB = ZE, 又VZADB = ZACB,AZACB = ZE, BCDE,.匕 CDE=ZBCD=ZBAD=Z DAC，又./ CAF=ZCDF,AZ FDE=ZCDE+ZCDF=ZDAC+ZCDF=ZDAF=90。，故 DE 是。O 的切线23. （2010河北）观察思
2、考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图.其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以 左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中，两连杆的 接点P在以OP为半径的。O上运动.数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH 1于点H，并测得 OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米.解决问题（1） 点Q与点O间的最小距离 分米； 点Q与点O间的最大距离是分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是分米.（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时,PQ与。O
3、是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么？（3）小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P至Ul的距离最/小 ”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离 分米；图 14-1lQH图 14-2lH (Q)当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数.【答案】解：(1) 456；(2) 不对.：OP = 2, PQ = 3, OQ = 4,且 42/32+ 22,即 OQ2PQ2+ OP2, ：.OP与PQ不垂直.：.PQ与。O不相切.(3) 3；由知，在。O上存在点P, P到l的距离为3,此时，OP将不能再向下 转动，如图3. OP在绕点O左
4、右摆动过程中所扫过的最大扇形就是POP.l Q Q广DP o /连结P P,交OH于点D.PQ, P Q 均与 l 垂直，且 PQ = P Q = 3 ,.四边形 PQQ P是矩形.OHLPP, PD = PD.由 OP = 2, OD = OH- HD = 1,得 ZDOP = 60.AZPOP r = 120.所求最大圆心角图的度数为120.24. (2010山东省德州)如图，在ABC中，AB=AC, D是BC中点，AE平分ZBAD交BC于点E,点O是AB上一点，。0过A、E两点，交AD于点G,交AB于点F.(1) 求证：BC与。O相切；(2) 当ZBAC=120时，求ZEFG的度数.C第
5、20题图【答案】(1)证明：连接OE,AB=AC且D是BC中点，:.ADLBC.AE 平分/BAD，:./BAE=/DAE.VOA=OE,:.ZOAE=ZOEA.：/OEA=/DAE.：. OEM AD.:.OE上BC.:BC是。O的切线.(2)：AB=AC,/BAC=120,：./B=/C=30.:/EOB =60.:./EAO =/EAG =30.:.ZEFG =30.25. (2010 山东莱芜)(在 RtAACB 中，/C=90, AC=3cm, BC=4cm，以BC 为直径作。O 交AB于点D.(1) 求线段AD的长度；(2) 点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED
6、与。O相切？请说明 理由.（第21题图）【答案】解：（1）在 RtAACB 中，AC=3cm，BC=4cm，/ACB=90，:.AB=5cm.连结CD,：BC为直径，.ZADC =ZBDC =90.VZA=ZA,ZADC=ZACB,ARtAADC RtAACB.A ADAB ACAC 2 9AD =-AB 5(2)当点E是AC的中点时，ED与。O相切. 证明：连结OD,：DE是RtAADC的中线. :.ED=EC,./EDC=/ECD.：OC=OD,：./ODC =ZOCD.ZEDO=ZEDC+ZODC=ZECD+ZOCD =ZACB =90.ED与。O相切.26. (2010江西)“6”字形
7、图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于B, OB与小圆相交于 A, BCAD, CDBHFM，BCDG, DHBH于 H,设/FOB =a ,OB = 4,BC = 6 ,(1) 求证：AD是小圆的切线；(2) 在图中找出一个可用a表示的角，并说明你这样表示的理由;(3) 当a =30。，求DH的长【答案】解：(1)证明：BC是圆的切线，所以ZCB0=90,：BCAD,.WBAD= 90，所以AD是圆的切线.(2)答案不唯一，略(3) ：CD BG, BCDG,所以四边形BGDC是平行四边形，所以DG=BC=6又因为匕DGH=90-a = 90。一 30。= 60。，所以 DH = sin6
8、0x 6 = 3气327. (2010年贵州毕节)如图，已知CD是ABC中AB边上的高，以CD为直径的。O分别交CA、CB于点E、F,点G是AD的中点.求证：GE是。O的切线.【答案】证明：(证法一)连接OE, DE .,: CD是。O的直径，. /AED = /CED = 90 .,: G是AD的中点，EG =1 AD = DG.2/1 = /2.OE = OD, :Z3 = /4. Z1+ Z3 = /2 + Z4 .即 ZOEG = ZODG = 90 . GE是。O的切线. （证法二）连接OE, OG.A G I) BAG = GD, CO = OD , OG AC.:.Z1 = Z2
9、, Z3 = Z4 . OC=OE .AZ2=Z4.AZ1=Z3.又 OE = OD, OG = OG ,OEG AODG. ZOEG = ZODG = 90 .GE是。O的切线.。28. （2010湖北武汉）如图，点O在ZAPB的平分线上，。0与PA相切于点C.（1）求证：直线PB与。O相切；（2）PO的延长线与。O交于点E若。O的半径为3, PC=4，求弦CE的长.【答案】（1）证明：过点O作ODXPB于点D,链接OC. PA切。O于点C,AOCXPA又点O在ZAPB的平分线上，.OC=ODAPB与。O相切解：过点 C 作 CFXOP 于点 F,在 RtPCO 中，PC=4, OC=3,
10、OP=POC2 + PC2 = 5 ,12i 924OC PC=OP F=2SAPCO,ACF=.在 RtACOF 中，OF二 JOC2 -CF2 = 一 , .EF=EO+OF= 一 ,.,.CE=EF2 +CF229. (2010四川 巴中)已知如图9所示，AABC中ZA=ZB=30 , CD是AABC的角平分 线，以C为圆心，CD为半径画圆，交CA所在直线于E、F两点，连接DE、DFO(1) 求证：直线AB是。C的切线。(2) 若 AC=10cm,求 DF 的长图9【答案】(1)V ZA=ZB=30, .AC=BC, 是的角平分线，ACDXAB, AB是。的切线；(2) V ZA=ZB=
11、30, .ZACB=120, CD 是AABC 的角平分线，ZACD=60,1又.CD=CF, :.ZF=- ZACD=30,ZA=ZF=30, .*.DF=AF,2ADJ3在 RtAADC 中，-=cos30= AC21 r-贝ij AD= 5.13cm , /. AF= 53cm。30. (2010浙江湖州)如图，已知AABC内接于。的直径，Q是弧A/的中点，过点Q 作直线8C的垂线，分别交C8、CA的延长线于E、F.(1) 求证：E尸是。O的切线.(2) 若 EF=8, EC=6,求。的半径.【答案】(1)连OQ,是弧A8的中点，C.ODLAB,又AC为。O的直径，:.BCAB, ：.O
12、D/CE,又VCEXEF, ：.ODEF,即段是。的切线.(2)VEF=8,EC=6，在RtACEF中，由勾股定理得CF=10，设。的半径为r, .ODCE,r 10 一 r6 10解得:1531. (2010四川成都)已知：如图，AB与。O相切于点C , OA = OB , 0Q的直径为(2)求sin A的值.【答案】.解：(1)由已知，OC=2, BC=4。在RtAOBC中，由勾股定理，得OB = 1，OC2 + BC 2 = 215(2)在 RtAOAC 中, VOA=OB=5 , OC=2,.O 2 _%5*. sinA=OA 2、5532。(2010湖南常德)如图8, AB是。0的直
13、径，匕A= 30，延长OB 到 D,使 BD = OB.。(1) AOCB是否是等边三角形？说明你的理由；(2) 求证：DC是。的切线.图8【答案】(1)解法一:VZA= 30，匕COB= 60 .又 OC=OB,:。 OCB是等边三角形.解法二：AB是。的直径，.ZACB= 90 .又./A= 30 ,；.ZABC= 60 .又OC=OB,。:. OCB是等边三角形.(2)证明：由(1)知：BC=OB,ZOCB=ZOBC= 60 . 又 VBD=OB,.BC=BD.:.ZBCD=ZBDC= - /OBC= 30 .2.ZOCD=ZOCB+ZBCD= 90 ,故DC是。的切线.033. （8分
14、）（2010湖北荆州）如图，OO的圆心在RtAABC的直角边AC上，OO经过C、 D两点，与斜边AB交于点E,连结BO、ED,有BOED，作弦EFXAC于G,连结 DF.（1）求证：AB为。O的切线；（2）若。O的半径为5，sinZDFE=3，求EF的长.【答案】（1）证明：连结OE（第心.题答茶图）EDOBAZ1=Z2，Z3=ZOED， 又 OE=ODAZ2=ZOEDAZ1=Z3又 OB=OB OE= OCAABCOABEO (SAS)AZBEO=ZBCO=9G 即 OEAB.LAB是。O切线.(2) 解: VZF=Z4, CD=2OC=1G；由于 CD 为。O 的直径，.在 RtACDE 中有:ED=CD sinZ4=CD sinZDFE=10x ： = 6CE = ；CD2 _ ED2 = v102 - 62 = 8-入eg /A 3在 RtACEG 中，=sin Z4 =-CE53 q 24.EG x 8 =5548
