分数的意义和性质教材分析

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1、分数的意义和性质教材分析本单元的主要内容有：分数的意义、真分数和假分数、分数的基本性质（约分、通分）、分数 和小数的互化。其中分数的意义和分数的基本性质是整个单元的重点，“分数的意义和性质”和后 面“分数的加法和减法”是学生开始系统地学习分数的起始，在系统认识了小数和初步认识分数的 基础上，引导学生由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生、分 数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要 的约分、通分、分数与小数互化等技能；真分数与假分数是分数意义的引申；约分和通分则是分数 基本性质的运用；分数与小数的互化，则是沟通了两者在形

2、式上的相互联系，得出小数与分数的互 化方法。整个单元的内容，基本是由概念到性质，再到方法、技能这样的递进发展关系编排的。一、与实验教材（义务教育课程标准实验教科书数学六年级，下同）的主要区别（一）分数大小比较，不再设置在第1 节中单列一段，而是充分利用前面学习分数初步认识时 打下的基础，把有关内容与通分结合在一起学习。这样既简化了第1 节的内容，也体现出通分的作 用。（二）增加了带分数的概念。虽然义务教育数学课程标准（2011 年版）规定，分数运算中 不含带分数，但考虑到把假分数化成带分数，容易看出这个假分数的大小在哪两个整数之间，以及 便于比较两个分数的大小，从而有利于数感的形成。因此，教材

3、增加了带分数的认识。（三）最大公约数、最小公倍数先给出概念和求法，再应用到解决问题中。原来将解决问题与 概念引入结合在一起，学生理解起来难度较大，所以，教材先给出最大公约数、最小公倍数的概念， 突出概念的本质，然后探索它们的求法，最后在解决问题的应用中体会它们的现实意义，加深对概 念的理解。二、教材例题分析（一）分数的意义本节由分数的产生、分数的意义、分数与除法三个层次的内容组成，帮助学生比较完整地建立 起分数的概念。1分数的产生。首先，从历史的角度、从现实生活中等分量的需要出发，呈现分数的现实来源， 让学生了解分数产生的背景和过程。使学生感受到在进行测量或分物时，往往不能刚好得到整数的 结果

4、，这时就需要用分数来表示，有了分数，这些结果就能准确地表示出来。教材这样通过测量与 分物的实例，引入分数的编排目的，就是为了使学生感悟到分数是适应现实需要而产生的，从而提 高学习的积极性，促进对分数意义的理解，并受到历史唯物主义观点的教育。2. 分数的意义。通过举例说明4的含义，它可以是一个物体（如一张正方形纸、一张圆形纸、 一条线段）的4 ,也可以是一个整体（如一把4根的香蕉、一盘8个面包）的4 ,引出分数概念的 描述。教学中，应注意结合实例理解、归纳分数的意义，并重点理解单位“1”和分数单位的含义。3. 分数与除法。前面是从部分与整体的关系揭示分数的意义。这里，分数表示两个整数相除的 商揭

5、示分数另一方面的意义，以加深和扩展对分数意义的理解，为学习假分数化为整数或带分数做 好准备。例 1和例 2 都是把一个物体（如 1 个蛋糕、 3个月饼）平均分成若干份，求每份是多少。学生 根据整数除法的含义，列出除法算式，容易理解为什么用除法算，但根据图示或分数的意义说出结 果，将除法与分数联系起来，要相对困难些。因此，教学中要结合操作和直观图示，帮助学生加深 对计算结果的理解。特别要提醒学生注意弄清谁是单位“1”，如例2,这里要求每人分得多少个，是看每人分得的月饼是1块月饼的几分之几，就是把1块月饼看作单位“ 1”。学生容易出现这样的 错误：把3个月饼平均分成4份，就是12小块，每人3小块，

6、得到错误的结果，就是把12小块 也就是3个月饼看作了单位“1”。正确的是把1个月饼也就是4小块看作单位“ 1”，3小块是1 个月饼的4。最后在两个实例的基础上概括出分数与除法的关系，并让学生用字母表示分数与除法 的关系（强调分数的分母不能为 0）。例 3 教学“求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题。教材编排此例的目的主要有两个： 一是让学生经历解决问题的过程；二是利用分数意义以及分数与除法关系，来解决实际问题，加深 对分数意义的理解。例如：在分析与解答环节，教材首先借助图示引导学生分析解答“把0只看作 一个整体，平均分成10份，每份是1只，7只就是10只的1 ”，所以鹅的只数是鸭白凰。再根

7、 据分数与除法的关系，求7只是10只的几分之几，可以用除法计算。所以算式是7宁10=1。最后， 回顾求一个数是另一个数的几分之几（或几倍）这两个问题，沟通它们之间的联系：都是用除法解 决。显然，教材特别注重加强新旧知识的联系，从而帮助学生促进知识的迁移，不断完善认知结构。（二）真分数和假分数 本小节对分数进行分类，增加了带分数的认识。通过学习真分数、假分数以及带分数，可以使学生比较全面地理解分数的概念，也有利于培养学生关于分数的数感。例1、例2：真分数和假分数的认识，突出了单位“1”，并且将原教材的例2（假分数）和例3 （带分数）整合在一起，很好地沟通了假分数和整数、带分数的关系，为后面例3

8、把假分数化成整 数或带分数作了铺垫。两个例题的内容都是依次呈现直观涂色、比较辨析、归纳抽象这样一个编排 过程。特别是例 2 教学引出假分数概念后，接着由涂色的直观图对假分数进行分拆，引出带分数的 概念。同时加强了对化法的道理的理解，并明确：假分数的分子是分母的倍数，是整数；假分数的 分子不是分母的倍数，是带分数。例 3：教学把假分数化成整数或带分数。转化的方法是根据分数与除法的关系用除法计算。利 用图示结合分数的意义说明算理：如7/3,根据分数与除法的关系用7-3计算。结合图示和分数的 意义，可以看出：3份是1个整圆，7-3=21表示7份里面有2个3份余1份，2个3份是2个 整圆也就是2,余1

9、份就是彳，所以结果就是彳。在理解算理的基础上，再引导学生小结假分数化 成整数或带分数的一般方法及两种情况。（三）分数的基本性质例 1：探索分数的基本性质。教材重点呈现了展开合情推理的全过程。首先，借助动手操作和 直观图示发现分数的相等关系，接下来进一步观察相等的分数中分子和分母的变化规律，引发猜想， 再举例加以验证，最后概括总结出分数的基本性质。整个过程渗透了不完全归纳的思想，培养学生 合情推理的能力。紧接着，教材提示学生根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律， 自主完成分数的基本性质的演绎推理过程。两种推理相互印证，加深学生对分数基本性质的理解。例 2：把一个分数化成分母不同，大小

10、不变的分数。本例是分数基本性质的初步运用，目的在 于帮助学生运用和掌握分数的基本性质。同时为后面的约分和通分做好准备。（四）约分先给出最大公因数、最小公倍数的概念和求法，再应用到解决问题中。原来将解决问题与概念 引入结合在一起，学生理解起来难度较大，所以，教材先给出最大公约数、最小公倍数的概念，突 出概念的本质，然后探索它们的求法，最后在解决问题的应用中体会它们的现实意义，帮助学生加 深对概念的理解。例1：最大公因数。本例教学公因数和最大公因数的概念。教材直接提出：“8和12公有的因 数是哪几个？公有的最大因数是多少？”并直接给予解答提示： “我先分别找出8和12的因数。 ” 引导学生分别找出

11、8和12的因数；在小精灵的提示下，“还可以这样表示”，用集合圈直观呈现8、 12各自的因数，从而引出公因数、最大公因数的概念。例 2：求最大公因数。教材首先呈现了两种求最大公因数的方法。一种是根据定义，即先找出 18和27各自的因数，再从中找出两个数的公因数、最大公因数；另一种是先写出18（两数中较小 数）的因数，再从中圈出27的因数，再看哪个最大。教学中，学生可以有不同的方法。并通过交流， 逐步形成适合自己的方法。最后，引导学生观察思考，两个数的公因数和它们的最大公因数之间有 什么关系？以进一步揭示公因数与最大公因数的概念。例 3：公因数和最大公因数在实际生活中的应用。教材选取铺地砖的相同情

12、境，让学生在解决 问题的应用中体会公因数和最大公因数的现实意义，加深对概念的理解。教材通过创设用整块的正 方形地砖铺满长方形地面的问题情境，应用公因数、最大公因数的概念求方砖的边长及其最大值。 首先，通过画图理解题意，特别是“整块”“正好铺满”的含义，也就是用正方形的地砖去铺，要 用整数块完整的地砖正好铺满地面。接下来，通过分析找出解决问题的方法。结合实际情境，将实 际问题转化为数学问题是解决问题的关键，通过分析，学生发现这样的地砖的边长必须“既是16的 因数，又是12 的因数”，后面自然就是利用公因数和最大公因数的概念解决问题了。最后利用画图 验证的策略来检验。例题的学习，重点是让学生体会解

13、决这类问题的关键就是将实际问题转化为数 学问题。例 4 ：约分。约分依据的原理是分数的基本性质。方法是找分子和分母的公因数。教材在小精 灵的提示、提问引领下，即“可以用分子和分母的公因数（1 除外）去除”“每一步都是用分子、 分母的哪一个公因数去除？”呈现可以逐步约，也可以直接找到最大公因数一步约的约分过程以及 简便书写形式。在经历约分的过程中，引出约分和最简分数的概念，并将最简分数作为约分的一般 要求。（五）通分例 1 ：最小公倍数。最小公倍数的编排与最大公因数的编排相似，在此不再展开叙述。例 2 ：求最小公倍数。求最小公倍数的编排与求最大公因数的编排类似，在此也不再展开叙述。例 3：公倍数

14、、最小公倍数在生活中的实际应用。例3 延续前面的素材，创设了用长方形墙砖 铺正方形的实际问题情境，用公倍数、最小公倍数的知识求正方形的边长及其最小值。同样先通过 画图初步理解题意，感受铺出正方形的不确定性。接下来，找出解决问题的方法。也就是将实际问 题转化为数学问题，即“正方形的边长必须既是3 的倍数，又是 2 的倍数”。这样就可以利用公倍 数和最小公倍数来解决了。最后，利用画图验证的策略来检验。这个例题的学习，重点是让学生体 会解决这类问题的关键就是将实际问题转化为数学问题。例 4 ：同分母、同分子分数大小的比较。教材呈现分两个层次展开。首先，由现实问题“地球 上陆地多还是海洋多？”引出同分

15、母分数大小的比较。其次，安排同分母或同分子分数的大小比较。 在此题解答的过程中，借助小精灵提出的问题“分母相同的两个分数怎样比较大小？分子相同的两 个分数呢？”引导学生回忆与思考比较的方法和经验，并进一步结合分数的意义加深理解和巩固， 最终概括总结出一般方法。并由此引出异分母分数的大小比较。例 5 ：通分及异分母分数大小的比较。在例 4 学习的基础上，自然引出比较异分母分数的大小。 同时，运用迁移类推的思想，引出通分的概念，并探索通分的一般方法。（六）分数和小数的互化 本小节是教学分数和小数的互化的方法，沟通小数和分数的联系，加深对分数、小数意义的理 解。例 1 ：小数化分数。本例教材是按如下

16、思路编排的。首先根据除法的意义列出除法算式，然后 分别用小数和分数表示计算结果，第三，让学生思考：怎样能较快地把小数化成分数？联系小数的 意义，直接给出小数化成分数的一般方法，最后通过“试一试”，小精灵问题“把小数化成分数需 要注意什么？”的引领，再让学生自主概括与总结。例 2 ：分数化小数。教材直接给出分数化小数的要求，而删除了原实验教材由排序引出。教材 提供了两类分数：一类分母为10，100可直接化，另一类分母不是10，100，利用分数与除 法的关系用分子除以分母得出小数。除不尽时，可根据需要用“四舍五入”法按要求保留小数位数， 或者根据数据特点，也可以利用分数的基本性质，转化为分母是10、100、1000的分数，再化 成小数。本单元的教学重点是理解分数的意义，明确分数与除法的关系，理解和掌握分数的基本性质； 难点是运用公因数（公倍数）、最大公因数（最小公倍数）解决实际问题。