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1、激光束的自聚焦、自散焦与相位调制引言： 在各向同性的非线性介质中，光场会引起介质极化率的实部发生变化，或者说光致折射率变化或产生非线性折射率。光致折射率变化的效应有多种，这里只介绍光学克尔效应，它表述为介质某处折射率变化的大小与该处光强大小成正比。本文介绍自作用（自相位调制）和互作用（交叉相位调制）两种光克尔效应。还要讨论由于高斯光束横向分布的不均匀性，光束在传播过程中引起的自聚焦，自散焦效应的理论，以及相关的时间和空间自相位调制的现象。一光学克尔效应光克尔效应是指光电场直接引起的折射率变化（即非线性折射率） 的效应，其折射率变化大小与光电场的平方成正比，即n E 2 。这种效应属于三阶非线性
2、光学效应。具有克尔效应的介质称为克尔介质。光学克尔效应因其产生的非线性极化率的方式不同而被分为两种：（1） 自作用光学克尔效应利用频率为的信号光自身的光强引起介质折射率变化，同时用一束信号光直接探测在该频率下的非线性极化率实部或非线性折射率的大小。（2） 互作用光学克尔效应演示这种光克尔效应，需要两束光：泵浦光- 引起折射率变化的强光；信号光-探测介质折射率变化大小的弱光。也就是用频率不同（）或偏振方向不同的强泵浦光引起介质折射率变化，同时用频率为的弱信号光探测介质非线性极化率实部或非线性折射率的大小。图 1. 给出了自作用克尔效应和互作用克尔效应的两个典型例子。(a) 自作用克尔效应（ b）
3、互作用克尔效应图 1. 两种光克尔效应设信号光频率为，泵浦光频率为，忽略吸收，自作用克尔效应和互作用克尔效应的非线性极化强度分别表示为ur（3）(3) ur2 urP）( )3 0(;, ,) E()E( ) （1.1ur（3）(3)ur2 urP ）( )6 0(;,-,) E() E( ) （1.2在光波传播过程中，折射率的变化会引起光的相位的变化。考虑一个沿Z 方向传播的ururi (kzwt), 光从 z=0 出发传至 z=L, 引起介质的折射率变化为n, 传播 ,z)=E(z)e平面单色波 E(常数变化为k, 相应光波的相位变化为nL （1.3 ） = KLnL= 2c0上式表明光致
4、折射率变化调制了相位，对自作用光克尔效应和互作用光克尔效应，相应地存在自相位调制（ SPM）和交叉相位调制（ XPM）两种。1.1 自相位调制光克尔效应为讨论自作用光克尔效应中折射率与光场的关系，设频率为的强激光入射各向同性介 质 ， 仅考 虑一 阶 和 三 阶效 应， 其 中一 阶极 化率(1)(1) i (1) 和三 阶 极 化 率(3) (3) i (3) 皆取实部，则总极化强度为urur (1)ur (3)P() P () P ()（1.4 ）urur2 ur(1)(3) ,- 0E()30(;,)E()E()uurururuurur根据 D0 EP 和 DE ，并定义有效三阶极化率
5、0 (1+ (1)e(3)ur2 E() )式中是总介电系数，为实数。利用线性介电系数的关系e(3) 3 (3) , 由（ 1.4 ）得（ 1.5 ） (1(1) )，得到n0 / 0 和0n021 (1) , 将它代入式（ 1.5 ）得到2(3)ur2 0 ( n0eE() )（1.6 ）利用（ 1.6 ），得总折射率 n 为1/2(3) ur21/2(3)ur2n0(1en0e（1.7 ）n ( / 0 )2E()2n0E( )n0式中，考虑到等式右边圆括号中的后一项比1 小得多。式（ 1.7 ）的前项 n 为线性折射0率，后项为非线性折射率，即为(3)ur2ne（1.8 ）2n0E( )
6、可见非线性折射率与场振幅平方成正比，比例系数为非线性折射系数，即(3)n2e（ 1.9）2n0它与有效三阶非线性极化率实部成正比。（1.8 ）变为ur2n=n2 E()（1.10 ）利用1ur2得I), 由式 (1.8)2 0cn0E(3)en=2 I=n 2 I（1.11 ） cn00可见非线性折射率与光强成正比，比例系数n2 称为非线性折射系数，它与三阶极化率实部的关系为(3)n2=e（1.12）0cn02总之克尔介质的总折射率包括线性和非线性两部分，它与光强成线性关系，即nn0nn0n2 I(1.13)光克尔效应引起的光致折射率变化的物理机制很多，例如：电子极化，电致伸缩，热效应等。克尔
7、介质的非线性折射系数越大，介质的响应速度越慢，响应时间越长。当光束传播一定距离 L 时，因为克尔效应引起介质折射率的变化，而产生光束的非线性相位差为2 nL= 2 n2 E2L （1.14 ）001.2 交叉相位调制光克尔效应考虑一种特殊的互作用光克尔效应。频率为的单色信号光与频率为的单色泵浦光同沿 Z 方向传播，但两者的偏振方向不同：泵浦光沿 y 方向偏振；信号光沿 x-y 平面内的某任意方向偏振，如图 2 所示图 2. 信号光（）与泵浦光（）的传播方向和偏振方向泵浦光引起介质折射率或极化率 （实部）发生变化，从而分别由信号光电场的x 和 y 方向分量 Ex( ,z) 和 Ey ( ,z)
8、所产生的非线性极化强度的x 和 y 分量分别为P(3) (, z)6(3)(;, ,) E()2E(,z)（1.15 ）x0xxyyxPy(3) (, z)60yyyy(3)2（1.16 ）(; , ,) E ()Ey (,z)y 方向的耦合波方程为将（ 1.16 ）代入上式，并且k=0, 得dEy (w, z)i3k02(3)2（ 1.17 ）dzkyyyy (; , ,) E( )Ey (, z)若认为泵浦光 E（ ）不随 x 变化，就可得 y 方向的信号光场强Ey (w, z) exp ik 0 i 3k0yyyy(3)(; , ,)E() z（ 1.18 ）2k上式中方括弧内的量正是信
9、号光在y 方向的非线性折射率，记为n/ , 即n/ 3k0yyyy(3) (;, ,) E()（1.19 ）2k同理，信号光在 x 方向的非线性折射率nn3k0 (3)xxyy (; , ,) E() 2（1.20 ）k这种产生光致双折射的互作用光克尔效应的强弱可由式（ 1.21 ）定义的克尔系数来度量，即 n/n(1.21)K() E( )2将（ 1.19 ）和（ 1.20 ）代入，可得克尔系数与三阶极化率的关系为K ()(3)yyyy(3)xxyy )（1.22 ）32 c光克尔效应提供了一种改变介质的折射率和光的相位的方法，在外加泵光电场的作用下，它可使各向同性的非线性介质变成各向异性的
10、单轴晶体。当线偏振光通过长度为 L 的介质时， o 光和 e 光的相位差为22（nn2L K ( )（1.23 ）=0/) LnE()可见 o 光和 e 光的相位差与泵浦光场强的平方成正比。二自聚焦在克尔介质（具有克尔效应的介质） 中传输的单模激光束，由于高斯型的横向分布，光束中心与边沿的光强不同，造成折射率沿径向的非均匀分布，介质对在其中传输的光束产生类似透镜的作用，对光束进行聚焦或散焦。折射率的变化 n 与光强 I 的关系由 (1.13) 决定，即式中非线性折射系数n2 的符号可正可负。取正值时（n20）为自聚焦（正透镜效应）；取负值时（ n20）为自散焦（负透镜效应）。自聚焦和自散焦如图3 所示：（ a）自聚焦（ b）自散焦图 3. 自聚焦与自散焦示意图对于自聚焦，沿介质的径向从轴心到边沿高斯光束的光强是逐步衰减的，根据n=n2I,因而其折射率也是逐步减小的。可以把光束经过的路径看成一个折射率渐变的波导，其作用就像一个自聚焦透镜，如图4 所示图 4. 自聚焦透镜对光束的会聚作用根据渐变折射率自聚焦透镜端面处最大数值孔径公式NAn0 sinsn2 (0)n2 ( R)2n0 n(0)n(R)（2.1 ）式中n0 是介质的线性折射率，s 为最大的会聚角。n(0)为中心轴上的折射率，n(0)=n0+n。n(R) 是边沿的折射率，该处光场近似为
