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1、第21讲 立体几何与空间向量考点一利用空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分别为u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)线线夹角设l，m的夹角为，则cos .(2)线面夹角设直线l与平面的夹角为，则sin |cosa，u|.(3)二面角设a的平面角为(0)，则|cos |cosu，v|.考向1求线面角【典例】1如图，在四棱锥PABCD中，AB平面BCP，CD平面ABP，ABBCCPBP2CD2(1)证明：平面ABP平面ADP；(2)点M为线段AB上一点，设直线MP与平面DCP所成角为，求sin 的取值范
2、围【解析】 (1)证明：因为CD平面ABP，CD平面ABCD，平面ABCD平面ABPAB，所以CDAB，分别取AP，BP的中点E，O，连接DE，EO，OC，则OEAB，OEAB，所以CDEO，CDEO，所以四边形DEOC为平行四边形，所以DEOC，因为BCCP，且O为PB的中点，所以COPB因为AB平面BCP，所以COAB，又PBABB，所以CO平面ABP，所以DE平面ABP，又DE平面ADP，所以平面ABP平面ADP.(2)由(1)可得OC，OB，OE两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则C(，0,0)，D(，0,1)，P(0，1,0)，所以(0,0,1)， (，1,0
3、)设平面DCP的一个法向量为n(x，y，z)，则即取n(1，0)设M(0,1，x)(0x2)，则(0,2，x)，从而sin ，因为0x2，所以，所以sin 的取值范围为.考向2二面角【典例】2如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PODO.(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角BPCE的余弦值【解析】(1)证明由题设，知DAE为等边三角形，设AE1，则DO，COBOAE，所以PODO，PC，PB，又ABC为等边三角形，则2OA，所以BA，PA，PA2PB2AB2，则APB90，所以PAPB，同理PAPC，又PCPBP
4、，所以PA平面PBC.(2)解过O作ONBC交AB于点N，因为PO平面ABC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，P，B，C，设平面PCB的一个法向量为n(x1，y1，z1)，由得令x1，得z11，y10，所以n(，0，1)，设平面PCE的一个法向量为m(x2，y2，z2)，由得令x21，得z2，y2，所以m，故cosm，n，所以二面角BPCE的余弦值为.易错提醒(1)解题时要建立右手直角坐标系(2)注意求线面角的公式中sin |cosa，u|，线面角的取值范围是.(3)利用空间向量求二面角要结合图形判断所求角是锐角还
5、是钝角【拓展训练】1如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1底面ABCD，且BAD60，CDCC12C1D14，E是棱BB1的中点(1)求证：AA1BD；(2)求二面角EA1C1C的余弦值【解析】(1)证明因为C1C底面ABCD，所以C1CBD.因为底面ABCD是菱形，所以BDAC.又ACCC1C，AC，CC1平面ACC1A1，所以BD平面ACC1A1.又AA1平面ACC1A1，所以BDAA1.(2)解如图，设AC交BD于点O，依题意，A1C1OC且A1C1OC，所以四边形A1OCC1为平行四边形，所以A1OCC1，且A1OCC1.所以A1O底面ABCD.以O为原点
6、，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则A(2，0,0)，A1(0,0,4)，C1(2，0,4)，B(0,2,0)，(2，2,0)由，得B1(，1,4)因为E是棱BB1的中点，所以E，所以，(2，0,0)设n(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，则取z3，得n(0,4,3)，取平面A1C1C的法向量m(0,1,0)，又由图可知，二面角EA1C1C为锐二面角，设二面角EA1C1C的平面角为，则cos ，所以二面角EA1C1C的余弦值为.考点二利用空间向量解决探究性问题与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面
7、角满足特定要求时的存在性问题处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断【典例】3如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB2，ABC60，M是AB的中点(1)求证：EMAD；(2)求二面角ABEC的余弦值；(3)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】(1)证明EAEB，M是AB的中点，EMAB，平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCDAB，EM平面ABE，EM平面ABCD，AD平面ABCD，EMAD.(2)
8、解连接MC，EM平面ABCD，EMMC，ABC是正三角形，MCAB，MB，MC，ME两两垂直建立如图所示空间直角坐标系Mxyz.则M(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，E(0,0，)，(1，0)，(1,0，)，设m(x，y，z)是平面BCE的一个法向量，则令z1，m(，1,1)，y轴所在直线与平面ABE垂直，n(0,1,0)是平面ABE的一个法向量cosm，n，二面角ABEC的余弦值为.(3)解假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45，(1,0，)，(0，)，设(0，)，00)，则由(2)得F(0，a,2)，(1，a2,2)由题意可知(1，
9、a2,2)a210，解得a1(舍去)，即直线DF的方向向量与平面ACB1的法向量不垂直所以，在棱A1B1上不存在点F，使得直线DF平面ACB1.专题训练1. (2021宁波余姚中学月考)如图，已知三棱锥PABC，平面PAC平面ABC，ABBCPAPC2，ABC120.(1)求证：PABC；(2)设点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值【解析】(1)证明ABBC2，ABC120，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC4422212，故AC2.又PA2AC241216PC2，故PAAC.又平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，故PA平面ABC.又BC平面A
10、BC，故PABC.(2)解由(1)知PA平面ABC，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，B(1，0)，P(0,0,2)，C(0,2，0)，E(0，1)故(0，1)，(0,2，2)，(1，0)，设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则即令y1，有故可取m(，1，)，设直线AE与平面PBC所成的角为，则sin ，所以直线AE与平面PBC所成角的正弦值为.2.如图，在三棱锥ABCD中，ABBDADAC2，BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，P为AB的中点，E为BD的中点(1)求证：AE平面BCD；(2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值【解析】(1)证明由
11、题图可知，ABD是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，AEBD，且AE，如图，连接CE，BCD是斜边长为2的等腰直角三角形，CEBD1，在AEC中，AC2，EC1，AE，AC2AE2EC2，AEEC.BDECE，BD平面BCD，EC平面BCD，AE平面BCD.(2)解方法一取CD的中点F，连接AF，EF，ACAD，CDAF.由(1)可知，AECD，AEAFA，AE平面AEF，AF平面AEF，CD平面AEF，又CD平面ACD，平面AEF平面ACD.设PD，AE相交于点G，则点G为ABD的重心，AGDGAE.过点G作GHAF于H，则GH平面ACD，连接DH，则GDH为直线PD与平面ACD所成的角易知AGHAFE，EFBC，AF，GHEF，sinGDH，即直线PD与平面ACD所成角的正弦值为.方法二由(1)可知A
