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1、目录直线和圆锥曲线经常考察的一些题型2题型一 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系3题型二：弦的垂直平分线问题4题型三：动弦过定点的问题9题型四：过曲线上定点的弦的问题14题型五：共线向量问题19题型六：面积问题28题型七：弦或弦长为定值问题33题型八：角度问题38问题九：四点共线问题46问题十：围问题本质是函数问题49问题十一、存在性问题：55直线和圆锥曲线经常考察的一些题型解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：1直线的斜率不存在，直线的斜率存在，2联立直线和曲线的方程组；3讨论类一元二次方程4一元二次方程的判别式5韦达定理，同类坐标变换6同点纵横坐标变换7 (斜率)的取值围8目标：弦长
2、，中点，垂直，角度，向量，面积，围等等运用的知识：1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。2、弦长公式：假设点在直线上，那么，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 或者。3、两条直线垂直：那么，两条直线垂直，那么直线所在的向量4、韦达定理：假设一元二次方程有两个不同的根，那么。题型一 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、直线与椭圆始终有交点，求的取值围思路点拨：直线方程的特点是过定点0，1，椭圆的特点是过定点-2，0和2，0，和动点。解：根据直线的方程可知，直线恒过定点，椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，那么，即。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： 证明直
3、线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。练习：1、过点和抛物线只有一个公共点的直线有 条。A4 B3 C2 D1题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直两直线的斜率之积为和平分中点坐标公式。例题2、过点作直线与曲线N：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，假设存在，求出；假设不存在，请说明理由。分析：过点的直线和曲线N：相交A、B两点，那么直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，
4、再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得，即 由韦达定理，得：。那么线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为： 令y=0,得，那么为正三角形， 到直线AB的距离d为。;解得满足式此时。思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的倍，将k确定，进而求出的坐标。例题3、椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。求过点O、F
5、，并且与相切的圆的方程；设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值围。分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，那么弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。 解：(I) ，圆过点O、F,圆心M在直线上，设M，那么圆半径： 由，得，解得，所求圆的方程为.(II)由题意可知，直线AB的斜率
6、存在，且不等于0,设直线AB的方程为，代入+y2=1，整理得 直线AB过椭圆的左焦点F， 方程一定有两个不等实根,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，那么AB垂直平分线NG的方程为令，得点G横坐标的取值围为。技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标关于k的函数。直线和圆锥曲线中参数的围问题，就是函数的值域问题。练习1：椭圆过点，且离心率。 求椭圆方程； 假设直线与椭圆交于不同的两
7、点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值围。分析：第一问中椭圆的离心率，可以得到的关系式，再根据“过点得到的第2个关系式，解方程组，就可以解出的值，确定椭圆方程。第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值围。解：离心率，即1；又椭圆过点，那么，1式代入上式，解得，椭圆方程为。设，弦MN的中点A由得：，直线与椭圆交于不同的两点，即1由韦达定理得：，那么，
8、直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入1式，可得，即，那么。教师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。此题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。练习2、设、分别是椭圆的左右焦点是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得？假设存在，求直线l的方程；假设不存在，请说明理由分析：由得，点C、D关于过的直线对称，由直线l过的定
9、点A(5,0)不在的部，可以设直线l的方程为：，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k的取值围，由韦达定理得弦CD的中点M的坐标，由点M和点F1的坐标，得斜率为，解出k值，看是否在判别式的取值围。解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线l的方程为：，C、D，CD的中点M。由得：，又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，那么，即。由韦达定理得：，那么，M(，)。又点，那么直线的斜率为，根据得：，即，此方程无解，即k不存在，也就是不存在满足条件的直线。教师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所
10、在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程或类一元二次方程，通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。题型三：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其局部都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们
11、在他们设好的路上“走出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。例题4、椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。I求椭圆的方程；II假设直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点
12、的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2，就可以了，否那么就不存在。解：I由椭圆C的离心率，,那么得。从而椭圆的方程为II设，直线的斜率为,那么直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，那么，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，那么得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。方法总结：此题由点A1(-2,0)的横坐标2是方程的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：，再利用直线A1M的方程通过同点的坐标变换，得
13、点M的纵坐标：；其实由消y整理得，得到，即，很快。不过如果看到：将中的换下来，前的系数2用2换下来，就得点N的坐标，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。 此题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线上也在直线A2N上，进而得到，由直线MN的方程得直线与x轴的交点，即横截距，将点M、N的坐标代入，化简易得，由解出，到此不要忘了考察是否满足。另外：也可以直接设P(t，y0)，通过A1，A2的坐标写出直线PA1，PA2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M、N的坐标，再写出直线MN的方程。再过点F，求出t值。例题5、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴
14、上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；求椭圆C的标准方程；假设直线与椭圆C相交于A，B两点A，B不是左右顶点，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。解I由题意设椭圆的标准方程为，II设，由得，注意：这一步是同类坐标变换注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，解得，且满足当时，直线过定点与矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为名师经历：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点直角，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。练习：直线和抛物线相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线过定点，并求定点的坐标。分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，那么OAOB，假设设，那么，再通过，将条件转化为，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到，解出k、m的等式，就可以了。解：设，由得，这里消x得到的那么1由韦达定理，得：，那么，
