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1、1.2.1 函数及其表示一、映射根据题意填空。 （1） （2） （3） （4）映射概念：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB是集合A到集合B的映射。如上图：_是映射。象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且A，B，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。注意：（1）集合A、B、对应关系是一个整体；（2）对应关系有“方向”，强调从A到B；（3）集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的，这个唯一性是构成映射的核心；（4）集合A中不同的元素，在集合B中
2、对应的象可以是同一个，集合B中元素对应集合A中的元素可能不止一个。对应可以为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”；（5）集合B中的元素在A中不一定有原象。（6）如果A有m个元素，B有n个元素，则从集合A中到集合B的映射（不加限制）有个。例1：设集合AN，BN，对应关系f：xy2x，则（1）集合A中元素2所对应的象是_。（2）集合B中元素2所对对应的原象是_。【解析】：（1）4（2）1变式练习：设f：AB是从集合A到集合B的映射，AB(x，y)xR，yR，若f：（x，y）（xy，xy）（1）求集合A中元素（1，2）在集合B中对应的元素_。（2）求集合B中元素（1，2）在集合A中对应的元素_
3、。【解析】：（1）(3，1) （2）(，)二、函数（一）、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：yf(x)，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（集合）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA 叫做函数的值域（集合）。定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素。例2：xyOxyOxyOxyO下面哪一个图形可以作为函数的图象（ ）A B C D【解析】：B变式练习：设Ax0x2，By1y2，如下图，能表示从集
4、合A到集合B的映射是（ ）1212A1212B1212C1212D【解析】：D（二）区间的概念：设，是两个实数，而且我们规定：（1）满足不等式x的实数x的集合叫做闭区间，表示为，；（2）满足不等式x的实数x的集合叫做开区间，表示为(，)；（3）满足不等式x或x的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开和左开右闭区间。定 义符 号定 义名 称符 号数轴表示（三）、函数的定义域：自变量x的取值范围。1、简单函数定义域的类型及求法：（1）分式函数中分母不等于零；（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0；（3）一次函数、二次函数的定义域为R；（4）y (0且1)，ysin x，ycos x，定义
5、域均为R；（5）ytan x的定义域为xxR且xk，kZ；（6）对数函数的定义域是真数大于0；（7）函数f(x)的定义域与指数的关系，对于不同的值，定义域不同。（8）由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。2、对于抽象函数定义域的求法：（1）若已知函数f(x)的定义域为，则复合函数fg(x)的定义域由不等式g(x) 求出；（2）若已知函数fg(x)的定义域为，则f(x)的定义域为g(x)在，上的值域。例3：求下列函数的定义域。（1）f(x) （2）f(x) （3）f(x)（4）f(x) （6）f(x)【解析】：（1）x （2）x（3）x1且x3（4）x2或x3（5）4x1变式练习1：设A
6、xy，Bxy，则AB_。【解析】：变式练习2：函数f(x)的定义域为_。【解析】：(2k，2k)，kZ变式练习3：设Axy，Bxy，则AB_。【解析】：A(2k，2k)，B4，3，则AB例4：已知等腰三角形的周长为20，请将底边y表示为腰x的函数，并写出x的取值范围。【解析】y202x，5x105x10例5：（1）已知函数f(x)的定义域为1，4，则f (x2)的定义域为_。（2）已知函数f(2x1)的定义域为(1，0)，则f(x)的定义域为_。【解析】（1）1x24，1x2（2）1x0，22x0，12x11变式练习：（1）已知函数f(x)的定义域为5，5，则f (32x)的定义域为_。（2）
7、已知函数f(x1)的定义域为0，3，则f(x2)的定义域为_。【解析】（1）1，4，（2）0x3，1x14，1x24，则2x1或1x2例6：下列说法中正确的是( )A：yf(x)与yf(t)表示同一个函数B：yf(x)与yf(x1)不可能是同一函数C：f(x)1与f(x)x0表示同一函数D：定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数【解析】A 变式练习：判断下列各组函数，哪些是同一函数（1）f(x)x 与g (x) （2）f(x)x 与g(x)（3）f(x)x与g(x) （4）f(x)x2 与g (x)(x1)2（5）f(x)x 与g(x) （6）f(x)与g (x)x1（7）f(x)x22x1
8、 与g(t)t22t1例7：已知函数f(x)x22x3，求（1）f(1)，f(2)（2）f()，f(1)（3）f(1)，ff(1)，f f(2) （4）若g(x)，则求fg(x) 和 gf(x)变式练习1：已知函数f(x)，求（1）计算：f (1)，f (2)，f ()（2）计算：f (1)f (2)f ()f (3)f ()f (4)f ()f (5)f ()f (6)f ()变式练习2：定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy（x、yR），且f(1)2，则f(3)（ ）A：2 B：3 C：6 D：9【解析】：f(1)f(10)f(1)f(0)0，得f(0)0f(0)f(
9、11)f(1)f(1)2，得f(1)0f(2)f(11)f(1)f(1)2，得f(2)2f(3)f(12)f(1)f(2)4，得f(3)6变式练习3：函数满足则常数c等于（ ）A： 3 B： C： D： 【解析】：x 得 c3 B三、函数的值域（一）、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。（二）、基本函数的值域：1、一次函数的值域为R； 2、二次函数；xR的值域 3、反比例函数的值域为4、指数函数y (0且1)的值域为(0，)5、对数函数y (0且1)的值域为R；6、正弦ysin x，余弦函数ycos x的值域1，1；7、正切函数ytan x的值域为R；8、函数f(x)的值域与指数的关
10、系，对于不同的值，值域不同。（三）求值域的具体方法1、观察法（直接法）：例8：求函数f(x)2x1，x1，2，3，4，5【解析】：y3，5，7，9，11变式练习：求函数的值域：（1）f(x)1 （2）f(x)【解析】：（1）y1（2）y02、配方法：利用二次函数求值域【二次函数的对称轴x，顶点坐标(，)】；例9：求函数f(x)x26x7，xR的值域解：f(x)x26x7(x3)21616，所以函数的值域yy16或。变式练习：求函数的值域 （1）f(x)x24x3，xR （2）f(x)x26x7，xR（3）f(x)x24x3， x1，3 （4）f(x)x26x7，x1，3（5）设、是方程4x24
11、mxm2（xR）的两实根，当m为何值时，有最小值？求出这个最小值。 【解析】：3、分离常数法：【形如反比例函数的值域y(k0)，】例10：求函数f(x)的值域。【解析】：f(x)2 y3变式练习：求函数f(x)的值域。【解析】：f(x)5 y54、单调法：先判断函数f(x)的区间上的单调性，再代入端点求值域的方法。例11：已知函数f(x)，求函数的最大值和最小值。【解析】：函数f(x)在2，6上是减函数，所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与最小值，当x2函数取最大值2，当x6函数取最小值0.4。变式练习1：求函数f(x)的值域。【解析】：9，12变式练习2：求下列函数的值域（1）f(x)
12、 （2）f(x)【解析】：（1）f(x) （2）f(x)5、换元法例12：求函数f(x)x变式练习1：分别求下列函数的值域（1）f(x)2x （2）f(x)2x变式练习2：分别求下列函数的值域（1）f(x)63 （2）f(x)sin2x2cosx36、基本不等式法【基本不等式章节重点讲解】例13：求函数f(x)x(x1)的最小值_。例14：求函数f(x) x(32x) （0x）的最大值_。7、三角函数法【三角函数章节重点讲解】8、导数法【导数章节重点讲解】9、三角代换法(参数法)【极坐标与参数方程章节重点讲解】四、函数的表示法（一）表示函数的方法有：有解析法、列表法和图象法三种。（1）、解析法： 如果函数yf(x)（xA）中，f(x)是用代数式（
