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1、2010年全国硕士研究生入学统一考试考前预测(数学三)一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数有二阶连续导数，且，则(A)在点处取极大值(B)在点处取极小值(C)点是曲线的拐点(D)点不是的极值点，点也不是的拐点 （2）设函数在全平面上都有，.则下列条件中能保证的是 (A) (B) (C) (D) (3)累次积分可以写成 (A) (B)(C) (D) （4）设，级数(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)敛散性与有关 （5）设，是阶可逆矩阵，满足.则 ； ；只有零解； 不可逆.中正确的项数
2、是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （6）已知线性方程组有解，其中，则等于（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-2 （7）设、为事件，如果，则（A） （B）（C） （D） （8）设是总体的简单随机样本，记，则的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（9）的实根个数是_.（10）设存在一阶偏导数，且，.又，则_.（11）设是由确定的隐函数，则.（12）幂级数的收敛域为_.（13）设是三阶矩阵，有特征值，.是的伴随矩阵，是三阶单位阵，则（14）已知随机变量的概率分布为，当时随机变量在上服从均匀分布，即则三、解答题：1
3、523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）设函数在点处二阶可导，且满足.求与.（16）（本题满分11分）计算二重积分,其中积分区域由轴与曲线围成.（17）（本题满分10分）设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，和分别为甲、乙两种原料的投入量（单位：吨），为产出量，且生产函数为，其中常数，.已知甲种原料每吨的价格为（单位：万元），乙种原料每吨的价格为（单位：万吨）.如果投入总价值为（万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？（18）（本题满分10分）设具有连续偏导数，且，求所满足的一阶微分方程，并求其通解.（19）（本题满分1
4、1分）设在区间上可导，且满足.求证至少存在一点，使得.（20）（本题满分10分）设四维向量组，.问：()当取何值时，不能由线性表出；()当取何值时，能由线性表出，并写出此时的表达式.（21）（本题满分11分）设二次型其中是二次型矩阵的一个特征值.()试用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用正交变换；()求在条件下的最小值，并求最小值点；()如果是正定矩阵，求的取值.（22）（本题满分11分）设两随机变量在区域上均匀分布，其中.又设，试求：()与的概率密度与；() 与的协方差的相关系数.（23）（本题满分10分）设两随机变量的概率密度为 求()常数的值； () 的边缘密度和； ()条件密度和；
5、 ()的值.参考答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数有二阶连续导数，且，则(A)在点处取极大值(B)在点处取极小值(C)点是曲线的拐点(D)点不是的极值点，点也不是的拐点 正确答案：B解析：由，得，而由连续知连续，所以.于是，所以是的驻点.又由，得，即，所以在点处有，故点是的极小值.应选（B).（2）设函数在全平面上都有，.则下列条件中能保证的是 (A) (B) (C) (D)正确答案：C解析：由 ，当固定时，对单调下降，故对时，有 ； 又由，当固定时，对单调上升，故对时，有 ；因此，当时
6、，有 .应选(C). (3)累次积分可以写成 (A) (B)(C) (D) 正确答案：D解析：由题设可知积分区域在极坐标系下是，的图形如图所示.它在直角坐标系下是或，因此，这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为或.由此可见（D）是正确的，应选（D）.（4）设，级数(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)敛散性与有关 正确答案：B解析：当时，由积分中值定理得，所以，而，发散，所以原级数非绝对收敛. 又，而，即单调减少.由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选（B）.（5）设，是阶可逆矩阵，满足.则 ； ；只有零解； 不可逆.中正确的项数是（A）1 （B）2 （C）3 （D
7、）4 正确答案：C解析：因，满足.两边取行列式，显然有，（A）成立.又，移项，提公因子得，.故，都是可逆阵，且互为逆矩阵，从而知方程组只有零解，正确. 不可逆是错误的，又因，故，从而有，得，从而有成立.故（1）、（2）、（3）是正确的，应选（C）.（6）已知线性方程组有解，其中，则等于（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-2 正确答案：D解析：将的增广矩阵作初等行变换，有解，得，故应选（D）.（7）设、为事件，如果，则（A） （B）（C） （D） 正确答案：D解析：已知意指：“在发生的条件下，与独立”.所以“在发生的条件下，发生与否不影响发生的概率”，即，选择（D）.我们也可以通过计算来确定
8、选项.事实上：，选择（D）.选项（A）、（C）表示：在发生下，与独立；选项（B）表示：在发生下，与独立.注：条件，除了保证各条件概率有意义外，还保证各项概率均不为零.（8）设是总体的简单随机样本，记，则的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 正确答案：C解析：，且，相互独立.所以.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.(9)的实根个数是_.正确答案：1.解析：设，则，由介值定理知，存在，使.又，而，故，严格单调增加，只有唯一的根.（10）设存在一阶偏导数，且，.又，则_.正确答案：7.解析：由复合函数求导法则，逐层展开有，所以.（11）设是由确定的隐函数，则
9、.正确答案：.解析：在方程中令可得，将方程两边对求导数，得将，代入，有，即（12）幂级数的收敛域为_.正确答案：解析：由公式， 所以，收敛区间，即.再考虑端点处.在处，原级数成为，收敛；在处.原级数成为，发散.所以应填.（13）设是三阶矩阵，有特征值，.是的伴随矩阵，是三阶单位阵，则正确答案：解析：有特征值，故，.从而有.（14）已知随机变量的概率分布为，当时随机变量在上服从均匀分布，即则正确答案：解析：由题设知，.根据全概率公式得.三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)设函数在点处二阶可导，且满足.求与.解析：由题设可知，从而（16）计算二重积分
10、,其中积分区域由轴与曲线围成.解析：引入极坐标满足，在极坐标中积分区域可表示为，于是由于,故.（17）设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，和分别为甲、乙两种原料的投入量（单位：吨），为产出量，且生产函数为，其中常数，.已知甲种原料每吨的价格为（单位：万元），乙种原料每吨的价格为（单位：万吨）.如果投入总价值为（万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？解析：本题要求函数在条件下的最大值点.用拉格朗日系数法，构造拉格朗日函数，为求函数的驻点，令由、消去参数可得，即，代入不难计算出唯一驻点，. 因驻点唯一，且实际问题必存在最大产量，所以计算结果表明，当投入总价值为（万元）
11、的甲、乙两种原料时，使产量最大的甲、乙两种原料的投入量分别是（吨）与（吨）.（18）设具有连续偏导数，且，求所满足的一阶微分方程，并求其通解.解析：由，有，在条件，即，中令得，于是满足一阶线性微分方程.通解为，由分部积分公式，可得，所以.注：也可由，满足的偏微分方程，直接得到满足的常微分方程.由，令，上式转化为常微分方程，所以，得满足的微分方程.（19）设在区间上可导，且满足.求证至少存在一点，使得.证明：由于在上可导，知在上连续，从而在上连续.由积分中值定理，知存在一点使得在上，由罗尔定理得至少存在一点使，即，.（20）设四维向量组，.问：()当取何值时，不能由线性表出；()当取何值时，能由
12、线性表出，并写出此时的表达式.解析：设，对增广矩阵作初等行变换得()当且时，,.方程组无解，不能由线性表出.()当时，若，方程组有无穷多解.令，得，即，为任意常数.若，方程组有唯一解，即.（21）设二次型其中是二次型矩阵的一个特征值.()试用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用正交变换；()求在条件下的最小值，并求最小值点；()如果是正定矩阵，求的取值.解析：() 二次型的矩阵由是的特征值，有得到. 由矩阵的特征多项式得到矩阵的特征值是，.对，解齐次方程组得基础解系，对，解齐次方程组得基础解系.因为不正交，故需Schmidt正交化，有，.再单位化，得，那么令，则在正交变换下，有() 条件，即.而可知在条件的极小值，即在条件下的极小值.由于，所以.而极小值点是.()因为矩阵的特征值：7,7,-2.所以，那么的特征值为：-14,-14,49.从而的特征值为，.因此，时，正定.（22）设两随机变量在区域上均匀分布，其中.又设，试求：()与的概率密度与；() 与的协方差的相关系数.解析：区域实际上是以为顶点的正方形区域，的面积为，的联合密度为有了就可以求和，特别可利用的对称性.() ，.当时，；当时，；当时，
