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1、第30讲 数学开放题教学目标 l 通过从不同角度思考问题，培养学生的发散思维。 知识梳理 数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不可能得到唯一答案。一般而言，数学开放题具有以下三个特征：1.条件不足或多余；2.没有确定的结论或结论不唯一；3.解题的策略、思路多种多样。解答数学开放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具体分析。我们一般可以从以下几方面考虑：1.以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决；2.根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求解；3.避免“答案
2、唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不同的答案。典例分析 例1、A、B都是自然数，且AB=10，那么AB的积可能是多少？其中最大的值是多少？【解析】由条件“A、B都是自然数，且AB=10”，可知A的取值范围是0 10，B的取值范围的10 0。不妨将符合题意的情形一一列举出来：010=0 19=9 28=16 37=21 46=24 55=25AB的积可能是0、9、16、21、24、25。当A=B=5时，AB的积的最大值是25。从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。例2、把1 5五个数分别填 图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是9。 【解
3、析】每条直线上三个圆圈内各数的和是9，两条直线上数的和等于92=18（其中中间圈内的数重复加了一次）。而1、2、3、4、5的和为15，1815=3。所以，中间圈内应填3。这样，两条直线上的圆圈中可以分别填1、3、5与2、3、4。这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的七个解。 例3、把1 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于9。 【解析】每边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等于93=27，27（123456）=6。所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。在1 6，只有123=6，故三个顶点只能填1、2、3。这样就得到一组解：1、5、3；1、6、2
4、；3、4、2。例4、在一次羽毛球比赛中，8名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军。共打了多少场比赛？（两名运动员之间比赛一次称为一场）【解析】8名运动员进行淘汰赛，第一轮赛4场后，剩下4名运动员；第二轮赛2场后，剩下2名运动员；第三轮只需再赛1场，就能决出冠军。所以，共打了421=7场球。还可以这样想：8名运动员进行淘汰赛，每淘汰1名运动员，需要进行1场比赛，整个比赛共需要淘汰81=7名运动员，所以共打了7场比赛。例5、一个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就要迟到8分钟；如果以每分钟60米的速度前进，就可以提前5分钟到校。这个学生出发时离上学时间有多少分？【解析】解答这道题，可以以不同
5、的时间为标准，选择的标准不同，解答方法也有所不同。例如，如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析：由“每分钟行50米，要迟到8分钟”，可知学校上课时，这个学生还离学校508=400米；由“每分钟行60米，可以提前5分钟到校”，可知距学校上课时，他还可走605=300米。两种不同的速度，在相同的时间内路程相差400300=700米，而两种速度每分钟相差6050=10米。因此，这个学生出发时离上课时间为：70010=70分钟。解法一：（508605）（6050）=70分；解法二：60（58）（6050）8=70分；解法三：50（85）（6050）5=70分。例6、小青以均匀的速度在公
6、路上散步，从第1根电线杆走到第10根电线杆共用了12分钟，如果她走24分钟，应走到第几根电线杆？【解析】方法一：根据题意，画出线段图。 从图上可以看出，由于每个间隔所用的时间无法直接求出，因而只有从时间关系上加以考虑，24分钟正好是12分钟的2倍，就相当于小青先走12分钟，又继续走12分钟。注意第10根（图中A处）既是前12分钟的终点，又是后12分钟的起点，显然被重复算了一次。因此，小红如果走24分钟，应走到1021=19根电线杆处。方法二：根据题意，画出线段图。 由图可知，12分钟走到第10根电线杆，共走了101=9个间隔，24分钟正好是12分钟的2倍，那么24分钟就走了92=18个间隔。要
7、求应走到第几根电线杆，我们要加上起点B点那根电线杆，因而应走到第181=19根电线杆。例7、八个8之间的适当地方，添上运算符号，使算式成立。 8 8 8 8 8 8 8 8=1000 【解析】 （1）凑数法。先找最接近1000的888， 然后想888+112=1000， 余下的五个8要等于112， 再找88接近112，88+24=112， 最终得到结果888+88+8+8+8=1000 （2）都是8，做减法一定能得到整十、整百、整千的数。 如88-8=80，888-88=800。 那么8888-888=8000，80008=1000， 最终得到结果（8888-888）8=1000。 注意：如果
8、题目要求不能有括号，这种方法则不行。 （3）想8125=1000，7个8怎么凑成125呢？ 先找最接近125的：（8+8）8=128，剩下的4个8只要得3就可以了。 数字游戏提到4个一样的数一定能得3，（8+8+8）8=3， 又得一结果： (8+8)8-(8+8+8)88=1000实战演练 课堂狙击 1、在下图各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和都是21。 【解析】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数，恰好每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、
9、5、7都是单数，要使和为单数，8要填入中间部分，如下图。 2、如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。 【解析】 3、用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示已知外面大正方形的周长是264厘米，里面小正方形的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是_厘米，宽是_厘米 【解析】外面大正方形的边长为2644=66厘米,里面小正方形的边长为30厘米,从图中可以看出，长方形的宽为（66-30）2=18厘米，长方形的长为（66-18）2=24厘米4、如下图是某校的平面图，已知线段a120米，b130米，c70米，d60米，l250米杨老师每天早晨
10、绕学校跑3圈，问每天跑多少米？ 【解析】平移法转化为长方形再求 (120130+60)(70+250)233780(米)5、2001年5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？【解析】三个不同的数字中，2、3、4的乘积是24；比31小，3、4、5的乘积比31大，那么大概范围就是这几个数字；只有2、3、5的乘积最接近31；而且比31小，所以这三批学生最多是2人、3人和5人.故答案为：2人；3人；5人. 课后反击1、用5、7、2、0、8，这5个数字组成两个五位数，这两个五位数相减的差是66663。这两个数中较大的一个
11、数可能是多少？【解析】首先两个五位数的首位只能是8和2，个位是5和2或0和7。因为两个五位数首位只能是8和2，所以五位数的个位只能是0和7，其它数位可以类推，8725020587=66663，8752020857=66663。较大的数可能是87250或87520。2、有一个四位数，去掉千位数字后所得三位数的15倍恰好是原来的四位数。求这个四位数？【解析】因为后三位数的14倍等于千位数字乘以1000，只有7000是14的倍数，所以这个数的千位数字是7， 后三位700014=500，这个四位数是7500。3、用9根火柴，怎样摆放，才能摆出6个正方形来？【解析】用9根火柴要摆出6个正方形，如果单靠火
12、柴棒重复是正方形的边显然不够用，思考后可以发现，先用7根火柴棒摆出两个正方形（一条边共用），然后把剩下的两根火柴棒“十”字交叉放在其中的一个正方形里面，把这个正方形分成4个小正方形，这样就有了6个正方形根据分析摆出的图形如下：4、先用14根火柴棒搭成下图的房子，再移动其中2根火柴棒，把这座房子改成面向左。 【解析】本题通过移动所示图形中的两根火柴棒以达到使房屋的方向改变这一目的,考查了学生对于旋转的应用,以及动手操作能力的考查.正确确定旋转前后两个图形的关系,是解决本题的关键.本题可通过逆向旋转房顶与房顶所在平行四边形的下面一条边从而达到使房屋方向改变的目的.（1）想一想旋转的性质,猜想以下可通过移动哪两根火柴棒可使房屋的方向改变;（2）多次尝试移动火柴棒,以达到题目要求.5、在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1000 【解析】这道题，1000是大数，先找一个离1000最近的数， 就是1111， 那么多了111怎么办呢？那么就要-111 这时已经是1000了， 还有一个1怎么办呢？ 会想到：（1111111）1 = 1000 名师点拨 1.学会从不同角度思考问题2.学会发散思维学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是
