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1、第一章 空间直角坐标，平面和直线1在给定坐标系中画出下列各点：。2自点M和N分别引各坐标平面和坐标轴的垂线，求各垂足的坐标。解：点M在平面XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为：在X，Y，Z轴上的垂足分别为：点N在平面XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为：在X，Y，Z轴上的垂足分别为：3. 给定点M和N，求它们分别对于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。解：关于XOY对称关于XOZ对称关于YOZ对称关于原点对称M（1，-2，3）（1，-2，-3）（1，2，3）（-1，-2，3）（-1，2，-3）N（a, b, c）（a, b, -c）（a, -b, c）（-a, b, c）（-a, -b, -
2、c）关于X轴对称关于Y轴对称关于Z轴对称M（1，-2，3）（1，2，-3）（-1，-2，-3）（-1，2，3）N（a, b, c）（a, -b, -c）（-a, b, -c）（-a, -b, c）4求点M（4，-3，5）到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。解：点M到原点的距离：点M在XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为A（4，-3，0），B（4，0，5），C（O，-3，5），则距离为：，点M在X，Y，Z轴上的垂足分别为，B（0，-3，0），C（0，0，5）则距离为：，5求点（1，2，-2）和（-1，0，-2）之间的距离。解：所求距离为：6求下列方向余弦：（1，2，-2），（2，0，0），（0，
3、2，-2），（-1，-2，-5）。解：（1，2，-2）的方向余弦为：，即：（）（2，0，0）的方向余弦为：，即：（）（0，2，-2）的方向余弦为：，即：（-1，-2，-5）的方向余弦为：，即：（7求从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数和方向余弦。解：从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数为（-1-1，0-2，-1+2），即（-2，-2，1）；方向余弦为（。8求下列方向的方向角：（0,0,-1）,(。解：（0，0，-1）的方向余弦为：0，0，-1，则方向角为：（的方向余弦为：，则方向角为：（-2，-1，-4）的方向余弦为：，则方向角为：9求下列各对方向之间的
4、夹角：1）（1，0，1）和（0，0，1）；2）（-1，-2，3）和（2，0，1）；3）（01，-4，-5）和（2，3，4）。解：1）方向余弦为（）和（0，0，1），则：而 故2）方向余弦为（）和（），则：3）方向余弦为（）和（），则：10. 证明：顶点是A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，-1，6）的三角形是直角三形角形。求出各边的长和各内角的大小。 证明：即： 又： 故各边长为：各内角为：11在给定的坐标系中画出下列平面：1） 2) 3) 4) 5)12.求下列平面的方程：1）过点（0，-1，4），法向的方向数为（2，-1，0）；解：1）设所求方程为：，又点（0，-1，4）在平面上
5、 2）过点（-1，-5，4），平行于平面解：2）设平面方程为：，则： 3）过点（1，3，5），（-1，-2，3），（2，0，-3）；解：设平面方程为：，则由题可得：4）过点（3，-1，4）和（1，0，-3），垂直于平面解：设平面方程为：，则由题可得：5）过点（0，-1，3）和Y轴；解：设平面方程为：，则：6）过点（-2，-1，3）和（0，-1，2），平行于Z轴。解：设平面方程为：，则由题可得：13将11题中的平面方程化为法式方程：解：1）法式方程为：2）法式方程为：3）法式方程为： 4）法式方程为：5）法式方程为：14在给定的直角坐标系中画出下列直线：1）； 2）；3）； 4）15求下列直线的
6、方程：1）过点（-2，3，5），方向数为（-1，3，4）；解：直线方程为：2）过点（0，3，1）和（-1，2，7）；解：直线的方向数为：（-1，-1，6），则直线方程为：3）过点（-1，2，9），垂直于平面3x+2y-z+5=0;解：由题可知直线的方向数为：（3，2，-1），则直线方程为：4）过点（2，4，-1），与三个坐标轴成等角。解：由于直线与三个坐标轴成等角，则（1，1，1）为其一个方向数，则：直线方程为：16给定直线，求1）过l平行于Z轴的平面；解：由题可设平面方程为：，则：2）l在XY平面上的投影。解：由 得直线l在XY平面上的投影为：17求下列直线在各坐标平面上的投影；并画图：1）
7、 解：由 得直线在XOY平面上的投影为：由 得直线在XOZ平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为： 2）；解：由 得直线在XOY平面上的投影为：由 得直线在XOZ平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为：3）解：由 得直线的点向方程为： 得直线在XOY平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为： 4）解：直线的点向方程为： 得直线在XOY平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为：18将下列直线的方程化为点向式：（1）解：由（2）解：由（3）解：由（4）解：由19求下列各对直线之间的夹角：1）；解
8、：设直线间的夹角为，由于两直线的方向数为（1,-1,0）,(-1,0,2),则方向余弦为（），（） 2）；解：设直线间的夹角为，两直线的方向数为（-1，1，2），（-2，4，-3），由于：（-1）（-2）+14+2（-3）=0.3）；解：设直线间的夹角为，由题可知两直线的方向数为（-3，1，2），（），则方向余弦为（），（），20求直线与平面的交点：1）；解：2）；解：3）；解： 而直线上一定点（-2，1，-2）也在平面上即：直线与平面有无数个交点。4）.解： 但直线上一定点（-2，1，-2）不在平面上即：直线与平面没有交点。21求直线： 与Z轴相交的条件。解：令X=0，y=0，则： 即：直线
9、l与z轴相交的条件是：，即：22证明：直线落在平面上必须且只须同时，写出p平行于但不在上的条件。证明：直线p与平面的方向数分别为：（l, m, n）,（A, B, C）Al+Bm+Cn=0 直线p平行于平面。又：点（x0, y0, z0）在直线p上，且Ax0+By0+Cz0+D=0,即点（x0, y0, z0）也在平面上 直线p在平面上。23求经过直线 和点（1, 2, 1）的平面方程。解：设平面方程为：，又：点（1, 2, 1）在平面上 A=-B令B=-1，则A=1 故：所求平面方程为：24设平面1与2不平行，它们的方程分别为， 。证明：过1和2的交线的所有平面的方程都可以表示成，其中和为不全为零的实数。证明： 且设其中，由知该方程是一个三元一次方程，即方程表示一个平面设，则：把点代入中有：即：左边=右边 L在上。由的任意性可知：所有过L的平面上方程都可以成：
