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1、14-9一元二次方程（新课）一、 一元二次方程的概念方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 例1将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2)
2、 x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例2求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程一元二次方程的根1方程x（x-1）=2的两根为（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b2二、 一元二次方程的解法1直接开方法运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程（1）x2-8x+_=（x-_）2；（
3、2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 练习1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根为（ ） A3 B-3 C3 D无实数根2配方法通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解（可直接化成x2=p（p0）或（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程的解法） 例1用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8
4、x+1=0 （2）x2-2x-=0 3求根公式法已知ax2+bx+c=0（a0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= 4a20，4a20, 当b2-4ac0时0 （x+）2=()2 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方
5、程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法例1用公式法解下列方程（1）2x2-x-1=0 （2）4x2-3x+2=0练习1若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_2设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，试推导x1+x2=-，x1x2=；4因式分解法因式分解的方法：提公因式法、运用公式法、（十字相乘法）三、 一元二次方程根的情况判别用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a0）的根的情况 求根公式：x=，当b2-4ac0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，
6、所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2= （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2= （3）当b2-4ac2 Ck2且k1 Dk为一切实数(2010湖北省荆门市)15如果方程ax22x10有两个不等实根，则实数a的取值范围是例3（北京2008）23已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于
7、的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，四、一元二次方程的应用1几何问题201515+2x20+2x例一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度. 练习1如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.BA北东B练习2 某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军
8、舰行至A处时,电子侦察船正位于A处的正南方向的B处,此时AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.2增长率问题A(1+x)=B例1某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为，可列方程为例2甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少3利润问题例某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天
9、能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?练习(2007青海课改，8分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？4排列问题一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?五、 作业1，23 已知：关于的一元二次方程 (1) 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；（3）若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值.2，23已知关于的方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；3，23 已知：关于x的方程求证：方程总有实数根；若方程有一根大于5且小于7，求k的整数值；
