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1、第三章 微分中值定理与导数的应用【考试要求】1. 掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义.2. 熟练掌握洛必达法则求“/、 / ”、“0、“、1 ”、“。，和“。”型未定式极限的方法.3. 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式.4. 理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值(最大值和最小值)的方法，并且会解简单的应用问题.5. 会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点.6. 会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线.【考试内容】一、微分中值定理1. 罗尔定理如果函数y f (x)满足下述的三个条件：(1) 在闭区间a，b上连续；(2
2、) 在开区间(a，b)内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即f(a) f(b),那么在(a，b) 内至少有一点(ab)得f() .说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点)，即若f (x。)。，则称点x。为函数f(x)的驻点.2. 拉格朗日中值定理如果函数yf(x)满足下述的两个条件：(1) 在闭区间a，b上连续；(2) 在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点 (a b)，使得下式(拉格朗日中值公式)成立：f (b)f (a)f ( ) b a).说明:当f(b) f (时，上式的左端为零，右端式& a)不为零，则只能f() ，这就说明罗尔定理是拉格朗日中
3、值定理的特殊情形.此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理.3. 两个重要推论(1) 如果函数f(x)在区间1上的导数恒为零，那么f (x)在区间1上是一个常数.证：在区间I上任取两点x、x (假定x x，x x同样可证)，应用拉格朗日中值. II- I q -1 I小、 1、2 12 ， 12 I 寸 I I 7 / ， / 7 jL- |1 i i-t-i-公式可得f (x ) f (x)f ( ) x x ) (x x)212112由假定，f()。，所以 f(x2)f(x1)，即 f(x2)f(x1).因为X、x2是1上任意两点，所以上式表明f
4、 (x)在区间1上的函数值总是相等的，即f (x)在区间1上是一个常数.(2) 如果函数f仪)与g (x)在区间(a，b)内的导数恒有f (x) g (x)，则这两个函数在(a，b)内至多相差一个常数，即f(x) g(x) c (C为常数).证：设F (x) f (x) g (x)，则 F (x) f (x) g (x) f (x) g (x) ，根据上面的推论(1)可得，F(X)c，即f (x)g(x) C，故f(x) g(x) c .二、洛必达法则1. x a时“”型未定式的洛必达法则如果函数f(x)及(x)满足下述的三个条件:(1) 当x a时，函数f(x)及F (x)都趋于零;(2)在
5、点a的某个去心邻域内f(X)及F(x)都存在且F (x) 0；f (x)11唱FT存在(或为无穷大),x a F (x)f(x)那么I1llmUx a F (x) .说明：这就是说f (x)llmFix)存在时f (x)f (x)*7也存在且等于11-txt ；当x a 、xx a L 、x)f (x)llm e为无穷大时x a F (x)f(x)ximFixj也是无穷大2. x时“”型未定式的洛必达法则如果函数f (x)及(x)满足下述的三个条件：(1) 当x 时，函数f(x)及F(X)都趋于零；当|x|X时f(x)及F(X)都存在且F (x)o；f (x)(3) 11r(存在(或为无穷大)
6、，x F (x)那么l1mxf (x)nxjllmxf (x)ftxt说明：我们指出，对于x a或x 时的未定式“一”，也有相应的洛必达法则.3. 使用洛必达法则求“0”型或“一”型极限时的注意事项(1) 使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“0”型或“一型，如果不是则不能sinx使用洛必达法则.例如：xZi就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故-x2sinxlimxx2(2)洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“0”型或“一”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推.(3)洛必达法则是求“0”型或“一”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的
7、方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极tanx xlim0限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便.例如：求xEx时，可先用x tanx进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故tanx x tanx xsec2 xlim li li x 0 x2 tanx x 0 x3 x 0 3x2tan x 1li x 0 3x23.(4)如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限(即可以先求出这部分的极限)，然后再利用洛必达法则，.lns ii2x以便简化运算.例如：求xli0mIlnsin2 x时 lim时，x 0 lnsinxs in女 cos2
8、x 2lim x 0 sin2x cos3x 32s in女limx 0 3sin2x2 3xlim7 9 Vx 0 ,x1，从第二步到第三步的过程中,分子上的因子cos2x和分母上的因子cos3x当x0时极限均为1故可先求出这两部分的极限以便化简运算.(5)当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当limf (x)Fix)f (x)存在时(等于无穷大的情况除外),limF(xj仍可能存在.例如：极限V . xsinx(xsinx)1lim(1 cosx)lim_，1imlim1极限是不存xxxxxx在的，但是 原极限是存在的，xsinxlim(1sinx、1 lim.si
9、nx1 1lim_)xxxxxx4. 其他类型的未定式除了 “0”型或“一型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“”、“”、“1 、“。及“ 型等.对于“,，和“ ”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“或“一型;对于“1 、“。”及“。型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“。型，然后再转化成“。”型或“一 ”型未定式.三、函数单调性的判定法1. 单调性判定法设函数yf（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导，（1）如果在（a，b）内？（x）。，那么函数y f（x）在a，b上单调增加；如果在（a，b）内？（x）。，那么函数yf（x）在a，b上单调减少.说明：如果把这个判定法中的闭区间改
10、为其他各种区间包括无穷区间），结论也成立；若判定法中f （x）在（a，b）内只有有限个点上f（x），而在其余点上恒有f（X）。或f（X） ），则函数f（X）在区间a，b上仍然是单调增加（或单调减少）的.2. 单调区间的求法设函数f（x）在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数f （x）的单调性的步骤如下：(1) 求出函数f(x)的定义域；(2) 求出函数f(x)的导数f (x),并令f (x)求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点(一般是使得f (x)分母为零的点)；(3) 用函数f (x)的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个
11、判定各个部分区间的单调性.3. 用单调性证明不等式函数f(x)的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：(1)将不等式的一边变为零,不等于零的一边设为f(x),根据要证明的式子找出不等式成立的x的范围I;(2) 求f(x)的导数f(X)，判断f (x)在上述1范围内的符号(即正负);(3 )根据范围1的边界值与f (x)的情况，导出所需要证明的不等式即可.例如：试证明当x 1时,2 x证明:原不等式即为 2很3 -,故令f(X)x则 f (x)11-jxX2n &痍 1) , f (x)在1,)上连续，在(1，)内f (x) ,因此在1，)f (x)单调增加,从而当X 1时，f(x)f(1)，又
12、由于f(1) ，故f(x)。，即2族3 1，亦即2很3 1.四、函数的凹凸性与拐点1. 函数凹凸性的定义设函数f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点%、x2,恒有f (x ) f (x )一1 ，那么称f (x)在1上的图形是(向上)凹的(或凹f (x ) f (x )弧)；如果恒有一1,那么称f (x)在1上的图形是(向上)凸的或凸弧).如果函数f (x)在1内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示.2. 函数凹凸性的判定法设函数f (x)在区间a，b上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在(a，b)内f (x),则f(x)在a，b上的图形
13、是凹的；(2) 若在(a，b)内f (x),则f(x)在a，b上的图形是凸的.说明：若在(a，b)内除有限个点上f (x)外,其它点上均有f (x) (或f (x)则同样可以判定曲线y f(x)在a，b上为凹曲线(或凸曲线).3. 曲线的拐点的求法一般地，设y f(x)在区间1上连续，x是1的内点(除端点外1内的点).如果曲线y f (x)在经过点(x，f(x)时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x，f (x)为这曲线的拐点.我们可以按照下述步骤求区间I上的连续函数yf (x)的拐点：(1) 求f (x)；(2) 令9 (x)，解出这方程在区间1内的实根,并求出在区间1内f (x)不存在的点;
14、(3) 对于(2冲求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x，检查f (x)在x左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点(x，f(x)是拐点，当两侧的符号相同时，点(x，f(x)不是拐点.在a，b上单3.基本初等函数的微分公式说明：若要求函数yf(x)的凹凸区间，则用(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间1分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定f(x)的符号，若f(x)0,则该部分区间为凹区间，若f(x)0,则该部分区间为凸区间.五、函数的极值与最值1. 函数极值的定义设函数f(x)在点x0的某邻域U(Xo)内有定义，如果对于去心邻域U(X0)内任一X，有f(x) f(X0)(或f (x) f(X0)，那么就称f(X0)是函数f(X)的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果f(xo)是函数f(x)的一个极大值，那
