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1、第十一章三角形典型题11.1 与三角形有关的线段题型一：三角形中线与周长的应用例 1：如图 11-9 所示，AD 是ABC 的中心， 已知 ABC 的周长为 25cm，AB 比 AC 长 6cm，则ABC 的周长为 （ ）A、19cm B、22cm C、25cm D、31变式训练：在 ABC 中，AC=5cm ，AD 是ABC 中线，把 ABC 周长分为两部分，若其差为 3cm，则 BA= 题型二：三角形面积的综合应用例 2：如图 11-10 所示， D 为ABC 中 AC 边上一点， AD=1 ，DC=2 ，AB=4 ，E 是 AB 上一点，且 ABC 的面积等于DEC 的面积的 2 倍，则
2、 BE 的长度为多少？变式训练：如图所示， SAOD =3，SAOB =4，SCOD=6，求 SBOC .题型三：应用三角形面积求线段的长例 3：如图 11-11 所示，在 ABC 中，AB=AC=5 ，BC=6 ，ADBC 于点 D，且 AD=4 。若点 P 在边 AC 上移动，则 BP的最小值是变式训练：如图所示， AD,CE 是ABC 的两条高， AB=4cm ，BC=8cm ，CE=6cm，求 AD 的长。题型四：三角形三边关系与绝对值的综合应用例 4：若 a，b，c 为 ABC 的三边长，化简 a-b-c+b-c-a+c-a-b变式训练：已知 a,b,c 是ABC 的三边长，化简 +
3、b-c+a-b-c-b-a-c-c+b-a题型五：应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题例 5：如图 11-12 所示，点 P 是ABC 内一点，试说明 AB+AC PB+PC变式训练：如图所示，已知 P 是ABC 内一点，试说明 PA+PB+PC （AB+BC+AC ）题型六：利用中线解决三角形面积问题例 6：张爷爷家有一块三角形的花圃， 如图 11-13 所示， 张爷爷准备将其分成面积相等的四部分， 分别种上红、 黄、 白、蓝四种不同颜色的花，请你设计五种不同的种植方案，供张爷爷选择。变式训练：如图所示，在 ABC 中，D,E,F 分别为 BC，AD，CE 的中点， S 2，则阴影部分
4、的面积是（ ） ABC =16cm 2 B、6cm2 C、4cm2 D、2cm2A、8cm11.2 与三角形有关的角题型一：应用三角形内角和定理解决三角板组合问题例 1：一幅三角板有两个直角三角形，按如图 11-31 所示的方式叠放在一起，则 的度数是（ ）A、165 B、120 C、150 D、135变式训练： 一幅分别含有 30 和 45 角的两个直角三角板拼成如上图所示的形式， 其中 C=90 ，B45 ，E=30 ，则BFD 的度数是（ ）A、10 B、15 C、25 D、30题型二：三角形内角和与角平分线的综合应用例 2：如图 11-33 所示，已知 ABC 和ACB 的平分线 BD
5、，CE 相交于点 O，A=50 ，求 BOC 的度数。变式训练：如图所示，已知 ABC 两内角的平分线 AO ，BO 相较于点 O，若 AOB=140 ，求 C 的度数。题型三：三角形外角性质与角平分线的综合应用例 3：在 ABC 中， ABC, ACB 的平分线交于点 O，试说明 BOC=90 + A。变式训练：如图（ 1）所示，在 ABC 中， 1=2，CB，E 为 AD 上一点，且 EFBC 于 F。（1）试探索 DEF与B，C 之间的关系； （2）如图（ 2）所示，当点 E 在 AD 的延长线上时，其余条件都不变，你在（ 1）中探索得到的结论是否成立？（不需要证明）题型四：三角形高线与
6、角平分线的综合例 4：如图 11-35 所示，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的高， AE 平分 BAC ， B=75 ， C= 45 ，求 DAE 与AEC 的度数。变式训练：如图所示，在 ABC 中，AD 是高， BE 交于点 P，BAC=30 ， C=70 ，求 BEC 和BPA 的度数。题型五：三角形内角和定理的推论的实际应用例 5：一个零件的形状如图 11-36 所示，按规定 A 应等于 90 ，B，C 应分别是 21 和 32 ，现测得 BDC=148 ，你认为这个零件合格吗？为什么？变式训练：如图所示，其中的圆是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道 PA 和 QB，要求 P
7、A 与 QB 所在的直线互相垂直。为了检验 PA 与 QB 是否垂直，小李同学早水池外的平地上选定一个可直达点 P 和 Q 的点 C 然后测得P=25 ， C=45 ， Q=20 ，则 PA 与 PB 是否垂直？为什么？题型六：利用外角性质判定角的关系例 6：如图 11-37 所示，在 ABC 中，角平分线 AD ，CF 交于点 I。（1）BIC 与BAC 的大小有什么关系？为什么？（2）CIA 与ABC 的大小有什么关系？为什么？变式训练：如图所示，已知 D 为ABC 内任一点，试说明 BDC ABD题型七：有关三角形的探究题例 7：下面是有关三角形内，外角平分线的探究，阅读后按要求作答。探
8、究 1：如图 11-38（1）所示，在ABC 中，O 是ABC 与ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现： BOC=90 +A( 不要求证明 )探究 2：如图 11-38（2）所示， O 是 ABC 与 ACD 的平分线 BO 和 CO 的交点，试分析 BOC 与A 有怎么样的数量关系，请说明理由；探究 3：如图 11-38（3）所示， O 是 DBC 与 ECB 的平分线 BO 和 CO 的交点，则 BOC 与A 有怎么样的数量关系？变量训练：如图所示， ABC 是一张三角形纸片，点 D，E 分别是 ABC 边上的两点，沿直线 DE 折叠。研究（ 1）：如果折成图（ 1）的形
9、状，则 BDA 与 A 的关系是研究（ 2）：如果折成图（ 2）的形状，猜想 BDA ，CEA 和 A 的关系，并说明理由。 （提升：四边形的内角和为360 ）。探究（ 3）：如果折成图（ 3）的形状，猜想 BDA ，CEA 和A 的关系，并说明理由。11.3 多边形及其内角和题型一：复杂图像中角度的确定例 1：如图 11-61 所示，试说明 A+ ABC+ C+D+ DEF+ F=360 。变式训练：如图所示， DEBCFG，求 A+ B+C+D+E+F+G 的度数。题型二：多边形的割角问题例 2：一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是 2880，则原多边形的边数是多少？变式训练：
10、如图所示，已知矩形 ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，则所得任一多边形内角和度数不可能是（ ）A 、720 B、540 C、360 D、180题型三：利用不等式确定多边形的边数例 3 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125，当发现错了以后，重新检查，发现少算一个内角，则这个内角是多少度？他求的是多边形的内角和？变式训练：一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是 2570，求：（1）这个多边形的边数；（2）除去的呢个内角的度数。题型四：多边形内角和与外角和的实际应用例 4：如图 11-62 所示，小敏从 O 点出发，前进 10m 到达点 A1 后，向右转 30前进 10m 到达 A2，再向右转 30前进 10m 到达 A3， 这样一直走下去，当她第一次回到出发点 O 时一共走了 m变式训练：如上图所示，小明从点 O 出发，沿直线前进 10 米后向左旋转 n（ 0n90），再沿直线前进 10 米向左转相同的度数 ，照这样走下去，小明发现：当第一次回到了出发点且转向出发点的方向时，共转了 24 次，则小明每次转过的角度 n 的值为（ ）A、 B、15 C、 D、36
