《《常微分方程》答案 习题4.1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《常微分方程》答案 习题4.1.doc（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 习题4.1 1. 设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。证明：假设在，在区间上线形相关则存在不全为零的常数，使得那么不妨设不为零，则有显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程 （1） （2） 的解，则+是方程 +的解。证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解则： （3） （4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。3. 试验证0的基本解组为，并求方程的通解。 证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，同理求得也是该方程的解又显然线形无关，故是0的基本解组。 由题可设
2、所求通解为：，则有：解之得：故所求通解为：4. 试验证0有基本解组t，并求方程t-1的通解。解：由题将t代入方程0得： ，即t为该方程的解 同理也是该方程的解，又显然t，线形无关， 故t，是方程0的基本解组由题可设所求通解为，则有：解之得：故所求通解为5. 以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。 解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得： 于是：令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：解得： 故又该方程适合初始条件，于是：解得： 故显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：， 而此方程同时满足初始条件，于是：解得
3、：故满足要求的解。6. 设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有： 解：又满足即则：即 则有：即： 7. 假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里 在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数,证：（）（）因为为方程的解，则由刘维尔公式 两边都乘以则有：，于是： 从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。8. 试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。 证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则： （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。 事实上：假设存在常数，使得： （*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，故有： 即（1）是线形无关的。
