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1、高考复习指导讲义 第八章 多面体和旋转体一、考纲要求1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、球及其有关概念和性质.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式(球缺体积公 式不要求记住)，并能运用这些公式进行计算.3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的 直观图.4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直 截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的 全部顶点的其他截面的有关问题.二、知识结构1.几种常凸多面体间的关系2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要
2、性质名称棱柱直棱柱正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一
3、点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等3.几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相
4、等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分4.面积和体积公式下表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长 .名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h5.正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积 S全=a2；(2)体积 V=a3；(3)对棱中点连线段的长 d=a；(4)相邻两面所成的二面角 =arccos(5)外接球半径
5、R=a；(6)内切球半径 r=a.(7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c.则不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半径 R=；内切球半径 r=6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式(1)面积和体积公式圆柱圆锥圆台球S侧2rl
6、rl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径.(2)圆锥、圆台某些数量关系圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角为，母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，底面半径为r，则 sin=cos = ，+=90 cos=sin = .圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r 、r，则h=lsinr-r=lcos.球的截面 用一个平
7、面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：r=.(3)球冠、球带和球缺球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一段叫做相应球冠的高.球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面.球冠的面积公式 若球的半径为R，球冠的高为h，则S球冠=2Rh其中h表示球冠的高，R是球冠所在的球的半径.球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径
8、旋转一周所成的曲面.球带的面积公式 若球的半径为R，球带的高为h，则S球带=2Rh球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式 若球的半径为R，球缺的高h，底面半径为r，则V球缺=h2(3R-h)= h(3r2+h2)三、知识点、能力点提示(一)多面体例1 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _.解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh.E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h
9、(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75.例2 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 2(xy+yz+zx)=20 依题意得： 4(x+y+Z)=24 由2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 由-得 x2+y2+z2=16即l2=16 l=4(cm).例3 如图，正三棱锥SABC的侧棱和底面 边长相等，如果E、F分别为AB、SC的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于( ) A.90 B.60 C .450 D.30解：取AC的中点G，连结FG，EGFG
10、SAGFE为异面直线EF与SA所成的角.正三棱锥的棱长为1，则GF=GE=.顶点到A、B、C等距，ABC等边顶点在底面ABC的射影O是ABC的中心，从而SA在底面上的射影BCSABC，即“正三 棱锥中两相对棱垂直”.FGE=90.tgEFG=1,EFG=45.应选C.例4 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体 积为( )A.6 B.2 C. D.2解：由已知可得正六棱锥的底面积S=6设正六棱锥的高为h，则h=2.V=2=.应选C.例5 如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧 面与 底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的( )A.垂心 B.重心
11、C.外心 D .内心解：作OEAB，OFBC，OMCASEO=SFO=SMO,SEOSFOSMO.OE=OF=OM.O为ABC的内心，应选D.例6 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值是( )A. B. C. D.解：如图，设P为AA1的中点，Q为A1M的中点，则DPCN，PQAM，DPQ是异面直线AM和CN的成角.在DPQ中，DP= =，PQ=AM=，DQ=.由余弦定理得cosDPQ=-.又异面直线所成的角的范围是（0，90）.直线AM和CN所成角的余弦值是.应选D.例7 已知三棱锥ABCD的体积是V，棱BC的长是
12、a，面ABC 和面 DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是，那么sin=_.解：如图，作AO面BCD于O，作OEBC于E，连结AE.由V=AOS2，得AO=又S1=AEBC，得AE=由三垂线定理知，AEBC，AEO是二面角ABCD的平面角.即AEO=，sin=sinAEO=.例8 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥 一定不是( )A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥解：该棱锥一定不是正六棱锥.否则设正棱锥SABCDEF符合题设，则在SAB和OAB中(O为顶点S在底面的射影)，SA=SB=AB=OA=OB,SABOAB但OAB是SAB在底面的射影，不可能.应选D.例9 如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA= 90，点D1 、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余 弦值是( )A. B. C. D. 解：设BC=CA=CC1=1.取BC中点E，连结EF、D1F，则EFBD1EFA为BD1和AF所成的角.易知FE=D1B= =.由BCA=90，得AE=.AF= =由余弦定理有cosEFA= = = 即BD1和AF1成角的余弦值是.应选A.例10 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )A.必然都
