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1、1. 分离变量法的实质是（ ） A.利用高斯积分面求定解。 B. 利用电荷分布求定解。 C.利用平面镜像求定解。 D. 将偏微分方程转换为常微分方程，再利用边界条件求定解。 2*在均匀外电场EO中放置半径为的导体球，（1）导体球上接有电池，与地保持电势差；使用分离变量法求空间电势分布 （15分）。；解：（1）以球心为坐标原点，以外电场EO方向建立球坐标系，当导体上接有电池，与地保持电势差时。以地为电势零点。本题的定解问题； 且 其中是未置入导体球前，坐标原点的电势.由于此问题具有轴对称, 从 得通解 ，(R根据边界条件确定积分常量：先由=得= +（R）再由得 =+2. 在均匀外电场E0中放置半
2、径为的导体球，（2）导体球上带总电荷Q，使用分离变量法求空间电势分布。（15分）解：(2) 建立同样的坐标系；定解问题为： 重复第一问的过程，得到 =+ 由条件（4）得到 = = = =-4 代入上式代替得 =+ ，（RR）4、(本题1分) 均匀介质球（介电常数为e）的中心置一自由偶极矩pf，球外充满另外一种介质（介电常数为e），求空间各点的电势。解：问题具有对称性，泊松方程的特解是：考虑到 有限得：5、(本大题总计10分) 空间导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。 空间导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p，球壳上带电Q，求
3、空间各点电势和电荷分布。利 r R2r0， 有限；r， r=R2 rR2 R1 rR2 9*接地的空心导体球的内外半径为,在球内离球心为a()处置一点电荷Q，用镜像法求电势分布，导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？（15分）解:设B处有电荷来代替球壳上感应电荷，在球内产生的场所以 =由于求敲及球外电场为零，感应电荷只能分布于内表面，因为区域电场为零故由高斯定理 所以 11*、(本题10分) 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部，半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b (b a)，用电像法求空间电势。11、解：如图，利用镜像法，根据一点电荷附近置一
4、无限大接地导体平面板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。 （6分） （4分）三、(本大题总计1分) 真空中有一半径为R0的导体球，导体球不接地而带电荷Q0，距球心为a (a R0) 处有一点电荷Q，求球外电势。解：利用电像法求解。在球内有一个像电荷，b=R02/a Q=-R0Q/a在球心放置一个假想电荷Q0-Q，导体球带总电荷为Q0，球面为等势面，球外电势为 四（9）、（12分）一个内外半径分别为R1和R2的接地空心导体球，在球内离球心为a(aR1)处置一点电荷Q。用镜象法求电势分布。四（9）、（12分）解：假设可以用球外一个假想电荷代替球内表面上感应电荷对空
5、间电场的作用，空心导体球接地，球外表面电量为零，由对称性，应在球心与的连线上。考虑球内表面上任一点P，边界条件要求： P (1分) R1 R R式R为Q到P的距离，R为到P的距离，因此， O Q Q对球面上任一点，应有常数 (1分)只要选择的位置，使，则常数 设距球心为b，则，即 (2分)由（2）（3）两式得: (2分) (2分)导体球壳接地，电势为0 (2分)从球壳外表面到无穷远都没有电荷，所以球壳外电势为0。 (2分)五、（12分）如图所示，电容率为的介质球置于均匀外电场中，设球半径为，球外为真空，试用分离变量法求介质球内外电势。解：设球半径为R0。以球心为原点，以方向为极轴建立球坐标系。以 代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，、均满足拉普拉斯方程，通解为： （1分） （1分）由边界条件：， （1分）得：， （1分）由边界条件：为有限， （1分）得 （1分）在处， （2分）将（1）（2）代入，并比较Pn的系数，得：， （2分）由此， （1分） （1分）五、(本大题总计1分) 请推导真空中电磁场波动方程。 五、(本题1分) 请推导达郎贝尔方程将 和 代入麦克斯韦方程令 7
