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1、有关任意、存在、至少、恒成立问题2012-5-291（本小题满分14分）已知函数。（）求函数的单调区间。KS*5U.C（）若上恒成立，求实数的取值范围（求f(x)的最大值）（）在（）的条件下，对任意的，求证：。 解：（）当时，恒成立，则函数在上单调递增；2分当时，由，则 KS*5U.C则在上单调递增，在上单调递减 4分（）由（）得：当时显然不成立； 当时，,只需即可6分令,则，函数在上单调递减，在上单调递增，即对恒成立，也就是对恒成立，解得，9分若在上恒成立，=1 10分分析;即求的取值范围，因为要不大于0，而是小于或等于0，所以只有，解得，(）,11分由得,由（）得： ,12分则, KS*5
2、U.C则原不等式成立高考资源14分2（本小题共14分）已知函数（）若，求函数的极值和单调区间；(II) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.解：（I）因为 ， 2分当， ， 令，得 ， 3分又的定义域为，随的变化情况如下表：0极小值 所以时，的极小值为1 . 5分的单调递增区间为，单调递减区间为； 6分（II）解法一：因为 ，且， 令，得到 ， 若在区间上存在一点，使得成立， 其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. 7分 （1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为， 由，得，即 9分 （2）当，即时， 若，则对成立，所以在区间上单调递减， 所以，在区
3、间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立 11分 若，即时，则有极小值 所以在区间上的最小值为，由，得 ，解得，即. 13分综上，由(1)（2）可知：符合题意. 14分 解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即，因为, 所以，只需 7分令，只要在区间上的最小值小于0即可因为，令，得 9分（1）当时：极大值 因为时，而， 只要，得，即 11分 （2）当时：极小值 所以，当 时，极小值即最小值为，由， 得 ，即. 13分 综上，由(1)（2）可知，有 . 14分3 2011山东青岛一模已知函数(1)若,令函数,求函数在上的极大值、极小值；(2)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范
4、围.解：(1)，所以由得或所以函数在处取得极小值；在处取得极大值() 因为的对称轴为若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以综上，实数的取值范围为 4（本小题共14分）已知，函数， .（）当时,求函数在点的切线方程；（）求函数在的极值;（）若在区间上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围解: 由求导得，. 1分（）当时, 3分 所以在点的切线方程是 4分 （）令, (1)当即时(-1,0)0+0-0+极大值极小值 6分 故的极大值是;极小值是; 7分 (2) 当即时 在上递增, 在上递减, 8分 所以的极大值为,无
5、极小值. 9分 （）设 . 对求导，得， 10分因为，所以，在区间上为增函数，则. 12分依题意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正实数的取值范围是. 14分5.（本小题满分14分）已知函数.()若，求曲线在处切线的斜率；()求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 转化为. 解：()由已知， 2分.故曲线在处切线的斜率为. 4分(). 5分当时，由于，故，所以，的单调递增区间为. 6分当时，由，得.在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 8分（）由已知，转化为. 9分 10分由()知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存
6、在，故不符合题意.) 11分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值， 13分所以，解得. 14分6（本小题共14分）已知函数 （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间（，0）上至少有一个极值，求实数的取值范围。解（）当时，1分， 2分令得3分在（，1）上单调递增4分（），5分当时，易知在处取得极小值，适合题意；时，函数在区间（-，0）上至少有一个极值，则说明的图像穿过轴负半轴；为二次函数，则或11分解得或13分综上，时满足题意14分7 (2011海淀一模理18). （本小题共13分）已知函数，（）若，求函数的极值；（）设函数，求函数的单调区间；()若在（）上存在一
7、点，使得成立，求的取值范围.解：（）的定义域为， 1分当时， ， 2分10+极小3分所以在处取得极小值1. 4分（）， 6分当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增； 7分当，即时，在上，所以，函数在上单调递增. 8分（III）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零. 9分由（）可知即，即时， 在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以； 10分当，即时， 在上单调递增，所以最小值为，由可得； 11分当，即时， 可得最小值为， 因为，所以， 故 此时，不成立. 12分综上讨论可得所求的范围是：或. 13分 8 （本小题满分14分）已知函数,，其中 .（）讨论的单调性；（）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（）设函数, 当时，若，总有成立，求实数的取值范围 【解】（）的定义域为，且， 1分 当时，在上单调递增； 2分 当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增. 4分（），的定义域为 5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以 8分（）当时， 由得或当时，；当时，.所以在上， 10分而“，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为注意不能用构造函数的方法，因为定义域不同。所以有 12分所以实数的取值范围是 14分1
