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1、第二讲： 简易逻辑一、知识回顾：1命题: 可以判断真假的语句； 2逻辑联结词:或、且、非；或有一个成立就成立； 且同时成立才成立；非把结论否定了，也说是命题的否定；（借助集合的交、并、补来理解）； 3简单命题、复合命题: 复合命题的三种形式: p或q、p且q、非p4真假判断（真值表）可概括为: p或q：同假为假，一真为真；p且q：同真为真，一假为假；非p： 真假相反，真假假真。5四种命题及其关系:互 逆原命题:若p则q逆命题:若q则p否命题:若则逆否命题:若则互 为 为互 否逆逆 否互否互否互 逆等价命题：原命题逆否命题，逆命题否命题，当一个命题真假不易判断时，可转而判断它的逆否命题。6否命题
2、不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论7反证法: 假设结论不成立推出矛盾假设不成立，即结论成立8充要条件: 条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件，9判断充要条件: 首先要分清谁是条件，谁是结论；然后再条件推结论，结论推条件，最后判定。 二、双基题目训练1.设集合那么是的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件2若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为S，则S是p的逆命题e的 （ ） A、逆否命题B、逆命题
3、 C、否命题 D、原命题 3.（2004福建）命题p: 若a、bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件；命题q: 函数y=的定义域是（，13，+），则A.“p或q”为假 B.“p且q”为真C. p真q假 D. p假q真4有A、B、C、D四个盒子，其中只有一个盒内放有一个苹果，在四个盒子上各有一张纸条.A盒上纸条写“苹果在此盒内”，B盒上纸条写“苹果不在此盒内”，C盒上纸条写“苹果不在A盒内”D盒上纸条写“苹果在C盒内”。如果四张纸条中只有一张写的是真的，则苹果必在哪个盒内（ ）5. （2005湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命题：“”是“”充要条件；“是无理数”是“a是无
4、理数”的充要条件“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a3”的必要条件.其中真命题的序号是 6已知，命题,则下列的表述正确的序号是 、； 、；、； 、。答案.提示：1-4、BCDB；5、； 6、2.设p:; 则 , 4. 若苹果在A盒内，则A、B盒上纸条写的为真，不合题意.若苹果在B盒内，则A、B、D盒上纸条写的为假，C盒上纸条写的为真，符合题意。6可借助文氏图分析。三例题讲解【例1】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.（1）“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”（2） 若解：（1）原命题即：若abc=0，则a=0或b=0或c=0，是真命题.逆命题：若a=0或b=0
5、或c=0，则abc=0，是真命题.否命题：若abc0，则a0且b0且c0，是真命题.逆否命题：若a0且b0且c0，则abc0，是真命题.（2）逆命题：否命题：逆否命题：易判定否命题假，逆否命题真，从而，逆命题假，原命题真。温馨提示：判断命题真假时注意利用等价关系，原命题不易判定时，可判断与之等价的逆否命题真假，如（2）小题。【例2】 已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不同交点的（充要）条件。解:线段MN: y= -x+3 (0x3)有两个不同交点即在0,3上有两个不等实根特别提醒：求充要条件本题是进行等价转化，也可先推出必要条件，再验证
6、充分性。【例3】（2003全国）已知，设命题 P：函数在R上单调递减；命题Q：不等式的解集为R。如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围解法1：;又 要使解集是R只有，即 解法2：函数在R上单调递减不等式的解集为R函数在R上恒大于1。下同解法1【研讨.欣赏】用反证法证明：若整数系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a0）有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数。思路点拨：有有理根则中的必是完全平方数；研究的是奇偶数问题，就从奇偶上找矛盾。证明：假设a、b、c都是奇数，则是完全平方数，且是奇数。设b=2t+1,m=2s+1, 由 得 (b+m)(b-m)=4ac即 (t+s+1)(t-s)=
7、ac,事实上，不论t、s是奇数还是偶数，(t+s+1)，(t-s)总有一个是偶数，而ac却是奇数，矛盾，假设不成立。所以，a、b、c中至少有一个是偶数。四较难题目选讲难点磁场()已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根、，证明：|2且|2是2|a|4+b且|b|0),若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以
8、及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要条件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集.又m0不等式*的解集为1mx1+m，m9，实数m的取值范围是9，+.例2已知数列an的前n项Sn=pn+q(p0,p1),求数列
9、an是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由an=关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a1=S1=p+q.当n2时，an=SnSn1=pn1(p1)p0,p1,=p若an为等比数列，则=p=p,p0，p1=p+q，q=1这是an为等比数列的必要条件.下面证明q=1是an为等比数列的充分条件.当q=1
10、时，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1当n2时，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1)pn1 (p0,p1)=p为常数q=1时，数列an为等比数列.即数列an是等比数列的充要条件为q=1.锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相
11、称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).难点训练一、选择题1.()函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.()“a=1”是函数y=cos2axsin2ax的最小正周期为“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、解答题3.
12、()设，是方程x2ax+b=0的两个实根，试分析a2且b1是两根、均大于1的什么条件？4.()已知数列an、bn满足：bn=,求证：数列an成等差数列的充要条件是数列bn也是等差数列. 5.()p:2m0,0n0.即有4+b2a(4+b)又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性：由2|a|4+bf(2)0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.方程f(x)=0的两根，同在(2，2）内或无实根.，是方程f(x)=0的实根，同在(2，2）内，即|2且|2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(x)=(x)|x+0|+0=x|x|=(x|x+0|+b)=(x|x+a|+b
13、)=f(x).a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(x)=(x)|(x)+a|+b=f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2xsin2x=cos2x,此时y的最小正周期为.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2axsin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为,则a=1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3解：根据韦达定理得a=+,b=.判定的条件是p:结论是q:(注意p中a、b满足的前提是=a24b0)(1)由，得a=+2,b=1,qp(2)为证明pq,可以举出反例：取=4,=,它满足a=+=4+2,b=4=21,但q不成立.
