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1、2010-2011第二学期高一数学期末复习 解三角形知识点梳理1斜三角形中各元素间的关系:在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边（1）三角形内角和：ABC（2）正弦定理：（R为外接圆半径）（3）余弦定理： 也可以写成第二种形式：，2解三角形：解斜三角形的主要依据是：设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C（1）角与角关系：A+B+C = ，（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b（3）边与角关系：正弦定理 （R为外接圆半径）余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2
2、= b2+c22bccosA它们的变形形式有：a = 2R sinA，（4）面积公式：解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、c），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b（2）已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C题型1：利用正弦定理、余弦定理解三角形1、在ABC中，已知三边满
3、足（abc)(abc)3ab，则C等于 .2、在中，= 3、（1）中,若三角形有两解,则的取值范围是 （2）在中,若，且三角形有解，则的取值范围为 4、已知圆的内接四边形中 ，求四边形的面积5、在中， 分别是角的对边，且=.（1）求角的大小；（2）若=，=4，求的面积.题型2：三角形形状的判断1、在ABC中，bcosAacosB ，则三角形的形状为 2、在ABC中，若则ABC的形状是什么？3、在ABC中，若sinA，试判断ABC的形状.4、在ABC中，已知，试判断ABC的形状.题型3：正余弦定理在平面几何证明中的应用1、用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方和等于四边的平方和。2、如图，是中
4、边上的中线，求证： 3、在ABC中，的外角平分线交的延长线于，用正弦定理证明：题型4：正余弦定理的实际应用1、某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于 _2、甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 _3、在ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= .4、货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行， 航向为方位角，A处有灯塔其方位角，在C处观测灯塔A的方位角，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是 5、外轮除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域，如图:我国某海岛
5、海岸线是半径为6海里的圆形区域，在直径的两个端点A、B设立两个观察点，已知一外轮在点P处，测得.ABP（1）当时，该外轮是否已进入我领海主权范围内?（2）角应满足什么关系时？就应向外轮发出警告，令其退出我海域. 解：（1）取AB得中点O，连结OP，在三角形PBO中，=252 -4分故该外轮已经进入我领海主权范围内. -6分（2）在三角形APB中，AB=12，由正弦定理得： -10分在三角形POB与PBO中，设， -12分，当时得：即. -16分6甲乙XXYYO如图，有两条相交成的直路，交点是，甲、乙分别在上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后甲沿方向用2 km/h的速度，乙沿方向用4k
6、m/h的速度同时步行. 设t小时后甲在上点A处，乙在上点B处.（1）求t=1.5时，甲、乙两人之间的距离；（2）求t=2时，甲、乙两人之间的距离；（3） 当t为何值时，甲、乙两人之间的距离最短？解：（）当t=1.5时，甲运动到点O，而乙运动了6km，故这时甲、乙之间的距离为7. 4分（）当t=2时，点A在直线XX上O点左侧距离O 点1km处，而点B在直线YY上O点上方距离O点9km处，这时AOB=60o，所以，由余弦定理得 AB=（km） 8分（）当时， 10分 当时， 12分t小时后，甲、乙两人的距离为km 当小时，甲、乙两人的距离最短 14分题型5：有关的取值范围和最值问题1、设A是ABC
7、中的最小角，且，则实数a的取值范围是 2、若钝角三角形三边长为、，则的取值范围是 3、在中，设、分别是、所对的边长，且满足条件，则面积的最大值为 4、在ABC中，已知AB=1，C=50，当B= 时，BC的长取得最大值.5、已知ABC中，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC外接圆半径为.（1）求C；（2）求ABC面积的最大值.6、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？7、如图,在平面有点A、B、P、Q，其中，设APB与PQB面积为S、T，求S2+T2的取值范围.解：设BAP= 0,BQP=,在PAB,PBQ中由余弦定理cos=cos-1S2+T2(sin)2+(sin)2 (cos)2+当cos=1时，S2+T2有最小值 当cos=时，S2+T2有最大值
