排列组合公式排列组合计算公式

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1、排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R 参与选择的元素个数! -阶乘，如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*( n-1)*(n-2).(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n(n-r+1)=r举例：Q1: 有从 1到 9共计 9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1:123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合， 我们可以这么看，百位

2、数有 9 种可能，十位数则应该有 9-1 种可能，个位数则应 该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式= P(3, 9) = 9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘积)Q2:有从 1到 9共计 9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2:213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组(1)每名

3、学生都只参加一个课外小组； (2)每名 学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？解(1)由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人 数，因此共有 种不同方法(2) 由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共 有 种不同方法点评 由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？ 解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共 3 类，每一类中不同 排法可采用画“树图”的方式逐

4、一排出：符合题意的不同排法共有9种.点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律， “树图”是一种具 有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1 ）高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了 一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不 同的选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3, 5，7，11，13，17, 19八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多 少种不同的商？从中任取两个求它的积，

5、可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从中 选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析 （1 由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺 序有关是排列；由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关, 所以是组合问题其他类似分析（1 ）是排列问题，共用了封信；是组合问题，共需握手（次）（2）是排列问题，共有（种）不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法.（3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共有 种不同的积.（4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法.

6、例4 证明.证明 左式右式.等式成立.点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形 过程得以简化.例 5 化简 解法一 原式解法二 原式点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的 两个性质，都使变形过程得以简化例 6 解方程：（1 ） ；（2 ） 解 （1 ）原方程解得 （2）原方程可变为 , ,原方程可化为即 ，解得第六章 排列组合、二项式定理一、考纲要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并 能用它们解决一些简

7、单的问题.3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示（一）加法原理乘法原理说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列 组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考 3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报 名方法共有多少种?解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都 有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3X3X3X3X3=35（种）（二）排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究

8、 的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比 较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例 2 由数字 1 、2 、3 、4 、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的 偶 数共有（）A.60 个 B.48 个 C.36 个D.24 个解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P1 ；小于 50000 的五位数，2万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P1 ;在首末两位数排定后，中间33个位数的排法有P3，得P1P3P1 =36（个）3332由此可知此题应选 C.例3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数 字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法 有3种，即2143， 3142， 4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填 法；将数字1填入第4方格，也对应3 种填法，因此共有填法为3P1 =9（种）.3例四 例五可能有问题，等思考！