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1、习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 证明比较判别法（定理8.2.2）； 举例说明，当比较判别法的极限形式中或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在上恒有，其中是正常数。则当收敛时也收敛；当发散时也发散。证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，：。于是，所以也收敛；当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，：。于是，所以也发散。（2）设在上有，且。则当发散时，也发散；但当收敛时，可能收敛，也可能发散。例如，则。显然有收敛，而对于，则当时收敛，当时发散。设在上有，且。则当收敛时，也收敛；但当发散时，可能发散，也可能收敛。例如，则。显
2、然有发散，而对于，则当时发散，当时收敛。 证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。证 定理8.2.3（Cauchy判别法） 设在上恒有，是正常数。 若，且，则收敛； 若，且，则发散。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且，则 若，且，则收敛； 若，且，则发散。证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数取为。 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：;（）.解 （1）当时，所以积分收敛。（2）当时，所以积分收敛。（3）因为当时有，而积分发散，所以积分发散。（4）当时，所以在时，积分收敛，在其余情况下积分发散。 证明：对非负函数，收敛与收敛
3、是等价的。证 显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛。由于收敛，可知极限存在而且有限，由Cauchy收敛原理，：，于是与，成立 与 ，这说明积分与都收敛，所以积分收敛。 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：;（）;（）; （和分别是和次多项式，在范围无零点。）解 （1）因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；由于 ，而积分发散，收敛，所以积分发散，即积分条件收敛。（2）当时，而收敛，所以当时积分绝对收敛；当时，因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛。（3）当时，而收敛，所以
4、当时积分绝对收敛；当时，因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛。（4）令，由于条件收敛，可知积分条件收敛。（5）当且充分大时，有，可知当时积分绝对收敛。当时，因为有界，且当充分大时，单调且，由Dirichlet判别法可知收敛；但由于当时，易知发散，所以当时，积分条件收敛。当时，由，为非零常数、或，易知积分发散。 设在只有一个奇点，证明定理8.2.和定理8.2.。定理8.2.（Cauchy判别法） 设在上恒有，若当属于的某个左邻域时，存在正常数，使得 ，且，则收敛； ，且，则发散。证 （1）当时，积分收敛，由反常积分的Cauchy 收
5、敛原理，：。由于，所以收敛。（2）当时，积分发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理，：。由于，所以发散。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且，则 若，且，则收敛； 若，且，则发散。证 （1）由 （），可知，：，再应用定理8.2.的（1）。（2）由 （），可知，：，再应用定理8.2.的（2）。定理8.2. 若下列两个条件之一满足，则收敛： （Abel判别法） 收敛，在上单调有界； （Dirichlet 判别法）在上有界，在上单调且。证 （1）设，因为收敛，由Cauchy收敛原理，：。由积分第二中值定理，。（2）设，于是，有。因为，有。由积分第二中值定理，。所以无论哪个判别法条件满
6、足，由Cauchy收敛原理，都有收敛的结论。 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：;.解 （1）因为，所以积分收敛。（2）因为，且对任意，即当充分小时，有，所以积分收敛。（3）因为，所以积分发散。（4）因为，所以当时积分收敛，当时积分发散。（5）首先对任意的与任意的，有，即当充分小时，有；且 。所以当时，积分收敛，当时，积分发散。（6），所以在时积分收敛，在其余情况下积分发散。（7），且，即当充分小时，有，所以当时积分收敛，在其余情况下积分发散。 讨论下列反常积分的敛散性： (); ;.解（1）。当，时积分与积分显然收敛，且当时，即不是反常积分，所以积分收敛。（2）。因为，所以积分收敛；因为，所
7、以积分收敛；因为，所以积分收敛。由此可知积分收敛。（3）。由，可知当时，积分收敛，当时，积分发散；当时，即当充分大时，有，其中，可知当时，积分收敛，当时，积分发散；综上所述，当时，积分收敛，在其余情况下积分发散。（4）。由,可知当时积分收敛；由，可知当时积分收敛。所以当时积分收敛，在其余情况下积分发散。（5）。由，可知当时积分收敛，当时积分发散；由，可知积分收敛。所以当时积分收敛，当时积分发散。（6）。由于积分收敛，及，所以当时积分收敛，当时积分发散。（7）。当时，显然积分发散；当时，由于，所以当，且时积分收敛，其余情况下积分发散。（8）设，则对任意的，当充分大时，有，因为，可知积分收敛。设，
8、则对任意的，当充分大时，有，因为，可知积分发散。设，令，则，由此可知当 或 时积分收敛，在其余情况下积分发散。 讨论下列反常积分的敛散性：; ();(5)；(6) ().解（1）。由，可知当时积分收敛，在其余情况下积分发散。（2）当时，由，可知积分绝对收敛。当时，因为有界，当充分大时单调减少，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为积分发散，所以当时积分条件收敛。当时，由于时不趋于零，可知积分发散。（3）。由，可知当时积分收敛，在其余情况下积分发散。当时，易知积分发散；当时，易知积分发散。当时，因为，单调减少，且，由Dirichlet判别法；可知积分收敛。综上所述，当时，积分条件收敛，
9、在其余情况下积分发散。（4）。由，可知当时积分收敛，在其余情况下积分发散。当时，显然积分收敛；当时，易知积分发散；当时，易知积分发散。 当时，因为，可知有界，且单调减少，由Dirichlet判别法，可知积分收敛。综上所述，当时积分绝对收敛，当时积分条件收敛，在其余情况下积分发散。（5）令，则。于是可知当时积分绝对收敛；当时积分条件收敛，当时积分发散。（6）当时，因为，可知积分绝对收敛。当时，因为，而级数发散，所以积分发散；又因为，注意到当充分大时，与都是单调减少的，由Dirichlet判别法可知积分收敛，所以积分条件收敛。10证明反常积分收敛。证 对任意，由分部积分法，。显然，当时，等式右端的
10、三项都趋于零，由Cauchy收敛原理，可知反常积分收敛。11设单调，且当时，证明： 收敛的必要条件是。证 首先由的单调性，对于充分小的，有。由Cauchy收敛原理，于是得到。12设收敛，且在上单调减少，证明:。证 首先容易知道当时，单调减少趋于，于是有，且。然后由Cauchy收敛原理，于是得到。13设单调下降，且，证明：若在上连续，则反常积分收敛。证 首先由分部积分法，。由于有界，单调下降，且，由Dirichlet判别法，可知积分收敛，从而积分收敛。14. 设绝对收敛，且，证明收敛。证 首先由，可知，有，即当时，成立。因为积分绝对收敛，于是由比较判别法，积分收敛。15 若收敛，则称在上平方可积
11、（类似可定义无界函数在上平方可积的概念）。 对两种反常积分分别探讨平方可积与的反常积分收敛之间的关系； 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。解 （1）收敛不能保证收敛，例如：，则收敛，但发散；收敛不能保证收敛，例如：，则收敛，但发散。（2）收敛不能保证绝对收敛，例如：，则收敛，但不是绝对收敛的；绝对收敛不能保证收敛，例如：，则绝对收敛，但发散。（3）由，可知收敛保证绝对收敛；但绝对收敛不能保证收敛，例如：，则绝对收敛，但发散。16. 证明反常积分 当时发散，当时条件收敛，当时绝对收敛。 证 当时，对充分大的，有，由于积分收敛，可知积分绝对收敛。当时，利用等式。这时积分收敛；积分当时收敛，当发散。当时，由于，因为级数发散，所以积分发散。综上所述，当时，积分条件收敛；当时，积分发散。当时，因为有，由Cauchy收敛原理，可知积分发散。279
