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1、1.曲边梯形的面积 设在区间 上 ，则由直线 、 、 及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间 中任意插入若干个分点将 分成n个小区间，小区间的长度 在每个小区间 上任取一点 作乘积 ， 求和取极限：则面积 取极限其中 ，即小区间长度最大者趋于零。2. 变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度 是 上 的连续函数，且 ，求在这段时间内物体所经过的路程。分割求近似：在 内插入若干分点 将其分成n个小区间 ，小区间长度 ， 。任取 ，做 求和取极限：则路程 取极限定义 设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点将 分成n个小区间 ，其长度为 ，在每个小
2、区间上任取一点 ，作乘积 ，并求和 ，记 ，如果不论对 怎样分法，也不论小区间 上的点 怎样取法，只要当 时，和 总趋于确定的极限，则称这个极限为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即， （*）其中 叫被积函数， 叫被积表达式， 叫积分变量， 叫积分下限， 叫积分上限， 叫积分区间。 叫积分和式。说明：1.如果（*）式右边极限存在，称 在区间 可积，下面两类函数在区间 可积，（1） 在区间 上连续，则 在 可积。（2） 在区间 上有界且只有有限个间断点，则 在 上可积。2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以3.规定 时 , 在 上 时, 表示曲线 、两条直线
3、 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积；在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在 轴的下方）；例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值（1） （三角形面积） （2） （半圆面积）设 可积性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性） 对任何三个不同的数 ，有 性质4 性质5 如果在区间 上， ，则 推论 性质6 （定积分的估值） 设M及m分别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理）如果函数 在区间 上连续，则在 上至少有一点 ，使 成立例2 比较下面两个积分的大小 与 解 设 ，在（0，1）内， 单调增当 时，有 ，即 由性
4、质5， 例3 估计积分 的值解 只需求出 在区间 上的最大值、最小值即可。设 ，令 ，得 ，所以，在区间 上 由性质6， 设 在区间 上连续， ，则定积分 一定存在，当 在 上变动时，它构成了一个 的函数，称为 的变上限积分函数，记作 即定理 如果函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 在 上具有导数，且导数是 ，即说明：1.由原函数的定义知, 是连续函数 的一个原函数，因此，此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。2.当积分上限的函数是复合函数时，有更一般的有 例1 （1） ， 则： = （2） ，则： （4） ，则：（5）设 ，求: 此题中 为函数的自变量， 为定积分的积分变量，因而是两个函
5、数乘积的形式由求导法则= = + （6） =0（因定积分的结果为一常数，故导数为零）（7）设 是方程 所确定的函数，求 解 利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有 则 = 例2 设 ，求 。例3 设 为连续函数，（1）若 ，则 _, _。（2） 例4 求 解 这是 型不定式，用罗必塔法则 定理 （牛顿莱公式）如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则此公式表明：一个连续函数在区间 上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。例5 解 原式 例6 解 原式 例7 求 解 利用定积分的可加性分段积分，= + =2例8 解 被积函数是分段函数，分段点 在积分区间 内，= + =1/4例9 解 原式 注意： 是分段函数
