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1、精选优质文档-倾情为你奉上高三一轮复习：集合【知识要点】一、 集合的概念：能够确切指定的一些对象组成的整体。（“”、“”）1、 元素的性质：确定性、无序性、互异性（检验）。2、 集合的分类：有限集、无限集、空集（）； 高中阶段常见数集和点集； 常见的数集：N*、N、Z、Q、R、C。3、 表示方法：列举法、描述法、图示法。二、 集合之间的关系：1、 子集：或。2、 真子集：AB且。3、 相等的集合：且。【注】（1）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； （2）任何集合是其自身的子集； （3）集合的传递性：若，则； （4）含有n个元素的集合的子集的个数为，真子集的个数为，非空子集的个数
2、为，非空真子集的个数为。三、 集合的运算：1、 交集：且；2、 并集：或；3、 补集：且。【例题解析】1、 用列举法表示下列集合：（1）集合，Z；（2）集合，Z；（3）集合；【解】（1），0，3； （2），； （3），1，5。2、 已知集合，则集合A与B的关系是。【解】，则。【变式】已知集合，则三个集合之间的关系为。【解】，则。3、 已知集合1，a，b，a，ab，若，求实数a和b。【解】由题意，得：或，解得：或。当，时，与元素的互异性矛盾，舍；当，时，1，0，满足题意。综上，。【变式】已知集合，若，求实数a的值。（）4、 已知集合，若，求实数a的值。 （实数a的值为0，）5、 已经集合，集合，
3、若，求实数a的取值范围。【解】，因为，所以。当时，得，解得：；当时，得，解得：。综上，实数a的取值范围是。【变式】已知，若，求实数a的取值范围。【解】由题意得：，。当时，；当时，；当时，；因为，所以，从而或，解得：或，所以实数a的取值范围是。6、 （1）已知集合，R，集合，R，则；（2）已知集合，R，集合，R，则。7、 （2009年上海卷）已知集合，且R，则实数a的取值范围是；【变式】已知集合，若，则实数a的取值范围是。8、 设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为，。已知，则。【解】，。9、 已知集合，xR，yR，若，则实数a的值为；【变式】已知集合，xR，yR，则。10、 判断以下命题的
4、真假：（1）设全集R，若，则；（）（2）设全集R，若，则。（）【变式1】设集合，若，则实数m的取值范围是；【变式2】设集合，若，则实数a的取值范围是。11、 某班有50名学生，其中18人参加了数学竞赛，20人参加了英语竞赛。已知两项竞赛都参加了的有8人，则两项都没参加的有 20 人。（图示法）5U3714AB26【变式】设全集，N*，2，6，1，4，5，求集合A和B。【分析】1，2，3，4，5，6，7，5，由图可得：1，3，4，7，2，3，6，7。命题与条件【知识要点】一、命题：可以判断真假的语句叫做命题。1、判断真命题需要证明，判断假命题只要举一反例即可。2、命题的四种形式：互否互否原命题：
5、若，则逆命题：若，则否命题：若，则逆否命题：若，则互逆天互逆天互逆否天3、等价命题：对于两个命题A和B，如果，那么A和B就叫做等价命题。一个命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与否命题也是等价命题。4、词语的否定形式：“是”与“不是”，“都是”与“不都是”，“且”与“或”，“”与“”，“至少一个”与“一个也没有”，“至多一个”与“至少两个”，“任意”与“存在”等。二、充分条件和必要条件：1、：是的充分条件，是的必要条件，的充分条件是，的必要条件是；2、：是的充要条件；3、，：是的充分非必要条件，是的必要非充分条件。三、子集与推出关系：设A、B都是非空集合，具有性质，具有性质，则等价于。【例题解析
6、】1、 写出命题“已知a、bZ，若a、b都是奇数，则是偶数”的其他三种命题并判断四个命题的真假。2、 若A是B的充分非必要条件，B是C的充要条件，D是C的必要非充分条件，则D是A的 必要非充分 条件。3、 判断下列各题中是的什么条件：（1） ：两个数的和是有理数，：这两个数都是有理数；（必要非充分条件）（2） ：集合，：；（充分非必要条件，反例如）（3） ：且，：且；（充要条件）【变式】：且，：且；（充分非必要条件）（4） 若x、yR，：，：；（充分非必要条件）（5） 若，：，：； （充分非必要条件，：或，：或）（6） 设，：或，：； （必要非充分条件）（7） ：，：，Z；（充分非必要条件）（
7、8） ：函数与同为奇函数或偶函数，：函数为偶函数；（充分非必要条件，如，）（9） ：，：或；（充分非必要条件）（10） ：，：；（充分非必要条件）【变式】：，：。（既不充分也不必要条件）4、 （2013年上海卷文科）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件【变式】（2013年上海卷理科）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ B ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件5、 （1）写出“，”的一个充分非必要条
8、件和必要非充分条件；【解】一个充分非必要条件：，；一个必要非充分条件：R，R。（2）写出“，”的一个充要条件；【解】充要条件：且。【变式1】写出“，”的一个充要条件；（且）【变式2】写出“a和b一个比2大一个比2小”的一个充要条件。（）6、 与正整数n有关的数学命题，如果当（N*）时该命题成立，则可推得当时该命题也成立。现得知时命题不成立，那么可推得（ C ） （A）当时该命题成立 （B）当时该命题成立 （C）当时该命题不成立 （D）当时该命题不成立【变式】（2007年上海卷理）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”。那么，下列命题总成立的是（ D ） （A）若成立，则
9、当时，均有成立 （B）若成立，则当时，均有成立 （C）若成立，则当时，均有成立 （D）若成立，则当时，均有成立7、 已知集合，写出BA的一个充分非必要条件，且这样的充分非必要条件有多少个？【解】。当时，；当时，；当时，。而，所以BA的一个充分非必要条件是，且这样的充分非必要条件有6个。【变式】已知函数，分别写出（R）的一个充分非必要条件和充要条件。（一个充分非必要条件：；充要条件：或）8、 若关于x的方程有两个大于1的实根，求实数m的取值范围。【解】设、为方程的两实根，由题意得：解得：。所以实数m的取值范围是。【变式】若关于x的方程有两个小于2的实根，求实数k的取值范围。（实数k的取值范围是）
10、9、 （2003年全国卷）已知，设命题P：函数在R上单调递减；命题Q：关于x的不等式的解集为R，若命题P和命题Q有且只有一个正确，求实数a的取值范围。【解】函数在R上单调递减；关于x的不等式的解集为R函数在R上的最小值大于1。而，所以，即。要使命题P和命题Q有且只有一个正确，只需。【变式】已知命题P：在R时恒成立，命题Q：关于x的方程有实数解。若命题P与命题Q有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围。（）10、 若下列关于x的方程：，至少有一个有实根，求实数a的取值范围。【解】若三个方程都没有实根，则，解得：。所以，若三个方程至少有一个有实根，则实数a的取值范围是。【变式1】若下列关于x的方程：，至少有一个有实根，求实数a的取值范围。（）【变式2】已知两个关于x的方程，中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。（R）【变式3】设R，求关于x的方程至少有一个负数根的充要条件。（）专心-专注-专业
