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1、高二上学期期中考试数学（理）试题时间：120分钟 满分：150分 一选择题（共12题，每题5分）1如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A是棱台B是圆台 C是棱锥 D不是棱柱2. 已知点坐标为，点在轴上，且，则点坐标为（）yxOl3l2l1A. B.C. D.3若右图中的直线, , 的斜率为,则（ ）A B C D4、直线、的斜率是方程x23x1=0的两根，则与的位置关系是（ ） A、平行 B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直5直线mxy2m10经过一定点，则该定点的坐标为()A(2,1) B(2,1) C(1，2) D(1,2)6.已知半径为1的动圆与定圆(x5)2 (y7)216
2、相切，则动圆圆心的轨迹方程为()A(x5)2(y7)225 B(x5)2(y7)23或(x5)2(y7)215 C(x5)2(y7)29 D(x5)2(y7)225或(x5)2(y7)297.一个动点在圆上移动时，它与定点连线中点的轨迹方程是（）A.B.C. D.8. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A.6 B.9 C.12 D.189圆和的公共弦的长度为（ ） A. B. C. D. 10直线与圆交于E、F两点，则（O为原点）的面积为（ ）A B C D11. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为( )A相切 B相交 C相离
3、 D相切或相交12直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是（ ）A B或 C D非A、B、C的结论二填空题（共4题，每题5分）13已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是_14若圆（x3）2（y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y=2的距离等于1，则半径r的范围是_.15过点M(1,2)的直线L与圆C：(x2)2y29交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线L的方程为_.16已知，点是圆：上的动点，点是圆：上的动点，则的最大值是_。三解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分）17(本题10分)已知两直线,求分别满足下列
4、条件的、的值 （1）直线过点，并且直线与直线垂直； （2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等18(本题12分)一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？19(本题12分)已知圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线L的方程；(2)求满足条件|PM|PO|的点P的轨迹方程21. (本题12分) 已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方
5、形，且，为中点（）证明： /平面；（）证明：平面平面；（）求二面角的正弦值22(本题12分)已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，O为坐标原点，求使OQM面积最小的直线l方程。高二理科数学期中考试答案2013.101答案C 解析图不是由棱锥截来的，所以不是棱台；图上、下两个面不平行，所以不是圆台；图前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱；很明显是棱锥 2.答案：3. C 4.答案：D5答案A 解析直线变形为m(x2)(y1)0，故无论m取何值，点(2,1)都在此直线上，选A.6. 答案：
6、D 解析：当动圆圆心在定圆外时，动圆圆心(x，y)到(5，7)的距离为5， (x5)2(y7)225， 当动圆圆心在定圆内时，动圆圆心(x，y)到(5，7)的距离为3， (x5)2(y7)29. 7. C 8.答案： 9.C 10. C 11C 12.B 13.解析：由R3，得R2.正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则a2.a4.V(4)2448.答案：48（2）且的斜率为. 的斜率也存在，即，.故和的方程可分别表示为：原点到和的距离相等. ，解得：或.因此或. 。10分18解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 轮船
7、航线所在直线l的方程为 ，即。5分如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向 由于圆心O（0，0）到直线l的距离，。10分所以直线l与圆O无公共点这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向。12分19.分析(1)对切线的斜率是否存在分类讨论；(2)设出P的坐标，代入平面内两点间的距离公式，化简得轨迹方程解析把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，C到l的距离d2r，满足条件当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2
8、，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150. 。6分(2)设P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2，|PM|PO|.(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10. 。12分20. 解：(1)设圆M的方程为： (xa)2(yb)2r2(r0)， 根据题意得：， 解得：ab1，r2， 故所求圆M的方程为：(x1)2(y1)24. 。6分 (2)由题知，四边形PAMB的面积为 SSPAMSPBM|AM|PA|BM|PB|. 又|AM|BM|2，|PA|P
9、B|，所以S2|PA|， 而|PA|， 即S2. 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线3x4y80上找一点P，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min3， 所以四边形PAMB面积的最小值为 S222.。12分21.【答案】解： （）证明：连结BD交AC于点O，连结EO 1分O为BD中点，E为PD中点，EO/PB 2分EO平面AEC，PB平面AEC， 3分 PB/平面AEC （）证明： PA平面ABCD平面ABCD， 4分又在正方形ABCD中且， 5分CD平面PAD 6分又平面PCD平面平面 7分（）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空直角坐标系 8分由P
10、A=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） 9分PA平面ABCD，是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）设平面AEC的法向量为, , 则 即 令,则 , 11分二面角的正弦值为 12分咱们没有学习向量法解立体几何，但本题用传统方法解也不难，老师们根据情况给分。设AD中点为F，OA中点为H，则EHF即为所求角，在RTEHF中计算即可22.分析：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可
11、以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设Q（x0，4x0），M（m，0） Q，P，M共线 kPQ=kPM 解之得： x00，m0 x0-10 。8分令x0-1=t，则t0 40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0 。12分注：如果学生用点斜式设直线方程，用斜率表示三角形面积，老师可根据情况给分。略解：设QM：y=k(x-6)+4 Q， M（），SOQM= ，令3k-2=t则k=,然后分子分母都除以t2评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数SOQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
