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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设，当时，（ ）（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与是等价无穷小【答案】（C）【考点】同阶无穷小【难易度】【详解】，即当时，即与同阶但不等价的无穷小，故选（C）.2、已知由方程确定，则（ ） （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】【详解】当时，.方程两边同时对求导，得将，代入计算，得 所以，选（A）.3
2、、设，则（ ）（A）为的跳跃间断点 （B）为的可去间断点（C）在处连续不可导 （D）在处可导【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】【详解】，在处连续.，故在处不可导.选（C）.4、设函数，若反常积分收敛，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】【详解】由收敛可知，与均收敛.，是瑕点，因为收敛，所以，要使其收敛，则所以，选D.5、设，其中函数可微，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【考点】多元函数的偏导数【难易度】【详解】，故选（A）.6、设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答
3、案】（B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】【详解】根据对称性可知，.（），（）因此，选B.7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【考点】等价向量组【难易度】【详解】将矩阵、按列分块，由于，故即即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.由于B可逆，故，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.8、矩阵与相似的充分必要条件是（ ）（A）（B）为任意常数（C）（D） 为
4、任意常数【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由的特征值为2，0可知，矩阵的特征值也是2，0.因此，将代入可知，矩阵的特征值为2，0.此时，两矩阵相似，与的取值无关，故选（B）.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、 .【答案】【考点】两个重要极限【难易度】【详解】其中，故原式=10、设函数，则的反函数在处的导数 .【答案】【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】由题意可知，.11、设封闭曲线的极坐标方程方程为，则所围平面图形的面积
5、是 .【答案】【考点】定积分的几何应用平面图形的面积【难易度】【详解】面积12、曲线上对应于点处的法线方程为 .【答案】【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】【详解】由题意可知，故曲线对应于点处的法线斜率为.当时，.法线方程为，即.13、已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件，的解为 .【答案】【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】，是对应齐次微分方程的解.由分析知，是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为，为任意常数.由，可得 ，.通解为.14、设是3阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若，则 .【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易
6、度】【详解】等式两边取行列式得或当时，（与已知矛盾）所以.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求和的值.【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】【详解】故，即时，上式极限存在.当时，由题意得16、（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意，.因，故.17、（本题满分10分）设平面区域D由直线，围成，求 【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】【详解】根据题意
7、，故18、（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（）存在，使得；（）存在，使得.【考点】罗尔定理【难易度】【详解】（）由于在上为奇函数，故令，则在上连续，在上可导，且，.由罗尔定理，存在，使得，即.（）考虑令，由于是奇函数，所以是偶函数，由（）的结论可知，.由罗尔定理可知，存在，使得，即.19、（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为构造拉格朗日函数 由 得 点到原点的距离为，然后考虑边界点，即，它们到原点的距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为，最短距离为1. 20、
8、（本题满分11分）设函数（）求的最小值；（）设数列满足，证明存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】【详解】（）由题意，令，得唯一驻点当时，；当时，.所以是的极小值点，即最小值点，最小值为.（）由（）知，又由已知，可知，即故数列单调递增.又由，故，所以数列有上界.所以存在，设为A.在两边取极限得 在两边取极限得 所以即.21、（本题满分11分）设曲线的方程为满足（）求的弧长；（）设D是由曲线，直线，及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长；定积分的物理应用形心【难易度】【详解】（）设弧长为，由弧长的计算公式，得（）由形心的计算公式，得.
9、22、（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵C使得，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设.由可得 整理后可得方程组 由于矩阵C存在，故方程组有解.对的增广矩阵进行初等行变换：方程组有解，故，即，.当，时，增广矩阵变为为自由变量，令，代入相应齐次方程组，得令，代入相应齐次方程组，得故，令，得特解方程组的通解为（为任意常数）所以.23、（本题满分11分）设二次型，记，（）证明二次型f对应的矩阵为；（）若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩【难易度】
10、【详解】（）证明：，其中所以二次型f对应的矩阵为.（）由于正交，故因均为单位向量，故，即.同理由于，故A有特征值.，由于，故A有特征值又因为，所以，故.三阶矩阵A的特征值为2，1，0.因此，f在正交变换下的标准形为.2014年考研数学二真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知所以的可能取值范围是，应该选（B）2下列曲线有渐近线的是（A） （B）（C） （D）【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线应该选（C）3设函数具有二阶导数，则在上（ ）（A）当时， （B）
11、当时，（C）当时， （D）当时，【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然就是联接两点的直线方程故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（D）【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）4曲线 上对应于的点处的曲率半径是（ ）（）（）(）（）【详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径本题中，所以，对应于的点处，所以，曲率半径应该选（C）5设函数，若，则（ ）（）（）（）（）【详解】注意（1），（2）由于所以可知，6设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有
12、二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上【详解】 在平面有界闭区域D上连续，所以在D内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上所以应该选（A）7行列式等于（A） （B）（C） （D）【详解】应该选（B）8设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（A）必
13、要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【详解】10设为周期为4的可导奇函数，且，则 【详解】当时，由可知，即；为周期为4奇函数，故11设是由方程确定的函数，则 【详解】设，当时，所以12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，则在点处的切线方程为，即13一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 【详
