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1、第二章 射影平面本章是在欧氏平面的基础上，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。1 射影直线与射影平面 1.1 中心射影与无穷远元素 定义1.1 设两条直线a和a在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a于A，如此得到的直线a与a的对应叫做以O为射心的中心射影。A叫做A从O投射到a上的对应点。OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。显然，A也叫A从O投射到a上的对应点。选取射心不同，就会得到不同的中心射影。如果，a和a相交于点C，则C是自对应点（二重点）。 在欧氏平面上，中心射影不是一一的。如果a上点P使OPa，则P
2、没有对应点。同样，在a上也存在一点Q，使OQa，则Q的对应点也不存在。点P和Q叫影消点。类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。于是，我们约定：约定1 在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P。平面上原有的点称为有穷远点。由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远点。另外，一
3、条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。约定2 平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l。平面内原有的直线称为有穷远直线。可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。约定3 空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：。空间中原有平面叫有穷远平面。定义1.2 无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。例1 证明一组平行平面相交于一条无穷远直线。证 在组中的一个平面内任取一条直线l，设l上的无穷远点为P，过l作一平面与组中其它平面必相交于一组平行直线，此
4、组平行直线有公共的无穷远点P，于是P必在此组平行平面的每一个平面上。由于所取直线l的任意性，所以此组平行平面必有无数多个公共无穷远点，其轨迹为一条无穷远直线，即一组平行平面必相交于一条无穷远直线。例2 在一个中心射影中，O为射影中心，在一平面a的影消线上取定两点P，Q，在a平面上，任取一点R。求证PRQ经中心射影后等于常量。证明 因为P，Q为影消线上两点，O为射心，所以OPb，OQb。若PRQ在平面b内的射影为PRQ，则 OPRP，OQRQ于是POQ=PRQ 而POQ为定值，所以PRQ经射影后为一定值。12 射影直线和射影平面定义1.3 在欧氏直线上添加了一个无穷远点后所得到的直线称为仿射直线
5、。定义1.4 欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。下面我们给出欧氏空间的仿射平面的模型。设有以O为球心的球面，过球心O作平面a交球面于大圆C，我们规定：半球面S为仿射平面，大圆C上的点为无穷远点，且通过O的大圆C的每一直径的两个端点当作一个无穷远点，半球面上的其它点为非无穷远点。大圆C为无穷远直线。半球面上的大圆弧为普通直线，相交于C上同一点的半大圆弧就是平行直线。定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点等同看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。射影直线是一条封闭直线，通常用圆作为射影直线的模型。定义1.6 在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得到射
6、影平面（二维射影空间）。射影平面也是封闭的。因为射影直线是封闭的，一个点不能把它分成两部分，要两个不同的点才能把射影直线分成两段。射影直线上的三个点，不能排成唯一的顺序。同样，射影平面也与欧氏平面很不相同。在欧氏平面上一条直线可以把平面分成两个区域。在射影平面上，一条直线并不能把该平面分成两个区域。因为连接两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交。在欧氏平面上，两条相交直线可以把平面分成四个区域。而在射影平面上，由于直线是封闭的，而二直线有且只有一个交点，所以两直线只能把射影平面分成两个区域。在射影平面上，两个不同的点决定一条直线，两条不同的直线有且只有一个交点。 1.3 图形的射影
7、性质定义1.7 图形经过中心射影（透视对应）后不变的性质（量）称为图形的射影性质（射影不变量）。结合性、同素性都是射影性质。平行性不是射影性质。单比不是射影不变量。二次曲线经过中心射影的象仍为二次曲线，所以二次曲线是射影性质。但是，圆不是射影性质，因为存在一些中心射影会把圆变成不是圆的其它二次曲线。例 证明：（1）相交于影消线的二直线必成平行直线。 （2）单比不是射影不变量。证明 （1）设平面p上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P，经射影对应后，l1与l2的对应直线分别为l1与l2。由于射影对应保持结合性不变，所以P点的对应点是l1与l2的交点，即P点。由于l1与l2相交于无穷远点，所以
8、l1l2。（2）设三直线a,b,c交于O点，c平分（a,b）。直线l1与l2分别交三直线于A，B，C和A，B，C，并使|AO|BO|,于是 (ABC)= (ABC)= 所以 |（ABC）|1因此单比不是射影不变量。定义1.8 一直线m上所有点A，B，C，D，的集合称为点列，记作：a（A，B，C，D，），直线m叫点列的底。定义1.9 一平面内经过一点O的所有直线a，b，c，的集合称为线束,记作：O（a，b，c，），点O叫线束的中心。显然点列与线束都是射影不变图形。14 德萨格（Desargues）定理定义1.10 平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形；平面内不共点的三直线与其
9、每两条直线的交点所组成的图形叫做三线形。德萨格定理是射影平面上的重要定理。许多定理以它为依据，利用它还可以证明初等几何中一些共点或共线问题。德萨格定理 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上。证明 设有三点形 ABC和ABC，它们的对应顶点连线AA，BB，CC交于一点O，其对应边的交点为BCBC=X，CACA=Y，ABAB=Z，下面分两种情况证明X，Y，Z在一直线上。（1） 三点形ABC和ABC分别在两个不同的平面a和a上，因为BBCC=O，所以和B，C， B，C和O共面，二直线BC和 BC必相交，交点X在平面a和a的交线上。同理，CA与CA，AB与AB也相交，且相应的
10、交点Y，Z都在二平面a和a的交线上。因此，X，Y，Z三点共线。（2）三点形ABC和ABC在同一个平面a内。通过O作不在平面a内的直线l，在直线l 上任取两点L，L，且不与O重合。因为AALL=O，所以A，A，L，L共面，LA与LA相交，记为LA LA= 同理LB LB= LC LC= 三点形所在的平面与平面a不同（如不在a内） 由于三点形LBC与LBC不同在一个平面内，LL，BB，CC都通过点O，BCBC=XCLCL= BLBL=由（1）可知X，共线，也就是说，X在平面所决定的平面内，但X在平面a内，则X在两个不同的平面与平面a的交线上。同理可证Y，Z也在平面a与平面的交线上，所以X，Y，Z都
11、在平面a与平面的交线上，于是X，Y，Z共线。德萨格定理的逆定理 如果两个三角形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点。定义1.11 如果两个三角形的对应边交点共线，则这条直线叫做透视轴。如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做透视中心。例1 过三角形ABC的三个顶点，任作三条直线AD，BE，CF，分别与对边交于D，E，F，且AD，BE，CF共点。若EFBC=X，FDCA=Y，DEAB=Z，则X，Y，Z三点共线。证明 在三角形DEF和三角形ABC中，由于AD，BE，CF共点，由萨格逆定理，可知X，Y，Z三点共线。例2 证明三角形的三中线共点。证明 若三角形ABC三边中点分别为D，
12、E，F，则EFBC，DEAB，DFAC。对三角形ABC和三角形DEF，它们的对应边交点共无穷远直线。由德萨格逆定理，可知其对应顶点的连线AD，BE，CF共点O。2 齐次坐标2.1 齐次点坐标 在欧氏直线上建立了坐标系后，点与实数之间便建立了一一对应关系。但是，对于无穷远点却没有其对应坐标，为了刻画无穷远点，我们引入齐次点坐标。定义2.1 设欧氏直线上普通点P的坐标为x，则满足=x的两个数x1 ，x2（x20）叫做点P的一维齐次坐标，记作P（x1 ，x2）。x称为点P的非齐次坐标。而当x2=0时，即（x1，0）（其中x10）或（1，0）规定为直线上无穷远点的齐次坐标。显然：（1） 不同时为0的两
13、个数x1 ，x2唯一确定一点（x1 ，x2），或记x（x1 ，x2）。而（0，0）不表示任何点。（2） 若0，则（x1 ，x2）与（x1 ，x2）表示同一点，也就是任意一点的一维齐次坐标有无穷多组。（3） 如果x20，则（x1 ，x2）决定轴上的一个普通点。它的非齐次坐标为（4） 如果x2=0，x10，则（x1，0）或（1，0）规定为轴上无穷远点。无穷远点无非齐次坐标。定义2.2 笛氏坐标为（x，y）点的二维齐次坐标（x1，x2，x3）是指任意满足x=，y=的三个数x1，x2，x3（x30），记作P（x1，x2，x3）。x，y称为点P的非齐次坐标。设有直线y=kx+b当k不变动而b变动时，方程表示一组平行线。其上点的非齐次坐标为（ x, kx+b）,其齐次坐标为（x, kx+b，1），或（1，k+b/x,1/x）,当从两个方向趋于无穷远时，得P的齐次坐标的极限为（1，k, 0）,这组数与b无关，只与k有关，所以它决定以k为方向的一组平行直线上的无穷远点的齐次坐标（ ，k，0） 定义2.3 任意三个有序实数x1，x2，0，其中，（x10）决定一个以k所确定的方向上的无穷远点，规定该无穷远点的齐次坐标为（x1，x2，0）或（1，k, 0）。当x1=0时，（0，x2，0）（x20）或（0，1，0）规定为y轴方向上的无
