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1、1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为。顶点平分焦点到准线的垂线段：。焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：
2、焦点坐标是：，准线方程是：。焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或或P5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x= k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= k/4的距离k0时开口向上(0,k/4)y= k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= k/4的距离k0)求它的焦点坐标和准线方程；(4) 求经过P (4，2)点的抛物线的标准方程；分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p0)特别是(3)题，要先化
3、为标准形式：，则(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解答案：(1) ，(2) x2=12y (3) ，；(4) y2=x或x2=8y例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），过点（3，2），4=2p（3）或9=2p2p=或p=所求的抛物线方程为y2=x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=
4、（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为（4，0）时，=4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，2）时，=2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2常用结论 过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y22px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2p2 设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)例5：过抛物线y2=2px (p0)的顶点O作弦OA
5、OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=4p2分析：由OAOB，得到OA、OB斜率之积等于1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程从这几个关系式可以得到y1、y2的值证：由OAOB，得，即y1y2=x1x2，又，所以：，即 而y1y20所以y1y2=4p2弦的问题例1 A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程解：(1)设A(x1,y1)
6、, B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直线AB的斜率k=, 直线AB的方程为yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直线AB过定点C(2p,0)(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故两直线的斜率之积为1, 即= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x0)解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点
7、) 立即可求出例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,又设点A，B，M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此时x=(x1+x2)=
8、y= 即M(,), N(,)例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设, 由得 又代入式得 由得 代入式得:由得或, 又由式知关于是减函数且, 且所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): (且)例4 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) 求抛物线方程; 求面积的最大值解: 设, AB中点 由得 又 得所以 依题意, 抛物线方程为 由及, 令得 又由和得: 例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动
9、，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,又设点A，B，M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此时x=(x1+x2)= y= 即M(,), N(,)综合类(几何)例1 过抛物线焦点的一条直线
10、与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ/x轴，为此，将方程联立，解出直线OP的方程为即令，得M点纵坐标得证由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐思路二：利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证设、，并从及中消去x，得到，则有结论，即又直线OP的方程为， ，得因为在抛物线上，所以从而这一证法运算较小思路三：直线MQ的方程为的充要条件是将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线
11、上，得证这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求RAB的最大面积分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可解：设AB所在的直线方程为将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，RAB的面积有最大值设直线l方程为代入抛物线方程得由得，这时它到AB的距离为RAB的最大面积为例3 直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛
12、物线的焦点F，设直线的斜率为k（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；（2）求出的定义域及单调区间分析：过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间解：（1）设的方程为：，将它代入方程，得设，则将代入得：，即P点坐标为由，知焦点，直线的斜率函数（2）与抛物线有两上交点，且解得或函数的定义域为当时，为增函数例4 如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可
13、以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0设C、D的坐标分别为与则l的方程为直线l平分弦CDCD的中点在直线l上，即，化简得：由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线焦点F在直线l上，由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等，CD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算解法一：
