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1、直角三角形中成比例的线段内容教学目标1.掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.2.培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想.教学重点和难点直角三角形中成比例线段性质的证明和应用.教学过程设计一、探索基本图形中的重要性质让学生复习并挖掘图5100中的基本性质.已知：在图5100中，CB=90，CDAB于D.(1)图中有几条线段?(答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)(2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项
2、的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?(5)图中由面积公式可推出怎样一个等积式?说明：(1)通过这几个问题，以新带旧，引导学生挖掘图5100中所蕴含的重要性质.如果学生的程度较好，教师可只给出图形，让学生尝试展开丰富联想，自己从几个方面归纳总结，培养学生发散思维能力.(2)由图中ABDCBDABC，可分别写出三组比例式： (ACDCDB);(CBDABC); (ACDABC).在教师启发下，学生会发现只有三个比例中项的表达式，即CD2=ADBD，CD2=BDBA，CD2=ADAB，简称“射影定理”.(3)因为课本中删掉了“射影”的概念，而且射影定理的两个结论无法将以上三个比例中
3、项统一表达，为了减少学生所需记忆的概念，教师可启发学生联想基本图形5101(公边共角)中的重要结论有公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形落在一条直线上的两边的比例中项.让学生用特殊化的方法结合图形对号记忆，教师用彩色粉笔，或加颜色的复合投影片突出显示，让学生加深印象，切实掌握这种简捷的记忆方法：相似ABD与CBD的公边是CD，共角是90(推广理解)，公边CD是ACD与CBD落在一直线上的AD，BD的比例中项.相似CBD与ABC的公边是CB，共角是B，公边CB是CBD与ABC落在一条直线上的两边BD与BA的比例中项.相似ACD与ABC的公边是AC，共角是A，公边AC是ACD与ABC落在一
4、条直线上的两边AD与AB的比例中项.(4)图中由三角形的面积公式很快能得到一个常用结论：ACCB=ABCD，在“已知直角三角形的两边，求斜边上的高”这一类问题中，使用它能迅速得到答案.(5)“直角三角形中成比例线段”的这些结论，书上都未作为定理出现，熟悉它们能迅速找到解题的思路.但使用时，必须先从证明相似三角形入手，写一篇证明过程.(6)利用“射影定理”可证明“勾股定理”，在图5100中，a2=nc,b2=mc,a2+b2=nc+mc=c(n+m)=c2.例1 如图5100，CD是RtABC的斜边上的高.(1)已知AD=9 cm，CD=6 cm，求BD.还能求出哪些线段的长?(2)已知AB=2
5、5 cm,BD=15 cm，求BD.还能求出哪些线段的长?说明：(1)在学生练习的基础上，教师可进行讲评，注意根据线段间的关系选择简捷的方法进行计算，并注意纠正学生只顾计算，而过程跳步等书写不严谨的错误.(2)引导学生总结：在图5100的六条线段中，知道其中的任何两条，都可以求出其余四条，只不过解题顺序不同.可让学生课下将例题中已知的两条线段换成其他四条线段中的任意两条，以寻找各种情况下最简捷的方法.例2 图5102(a)中，CD垂直平分AB，点E在CD上，DFAC，DGBE，F，G分别为垂足.求证：AFAC=BGBE.分析：引导学生将图1102(a)分解出两个基本图形5102(b)和(c)，
6、再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两边分别满足图5102(b)和(c)中的射影定理AFAC=AD2，BGBE=DB2，通过代换线段的平方(AD2=DB2)就可以证明所要的结论.说明：教师可制作投影片(复合、翻转、抽拉、旋转)对此题作变形推广，使学生在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，见图5103.(1)在图5103(c)中，求证：CFCA=CGCB.(2)在图5103(a)中，求证：FGBC=CEBG.(3)(选用)在图5103(d)中，求证：CD3=AFBGAB；BC2：AC2=CF:FA;BC3：AC3=BG：AE.在课堂上，可让学生按难易顺序练习第(1)，(2)题，第(
7、3)题留待本意复习课时专门学习a3,a2:b2,a3:b3类型题的解法.思路：在第(1)题中，观察图形则发现分别使用CD2=CFCA和CD2=CGCB即可得到证明.第(2)题培养学生用综合分析法探求解题的思路.逆探：欲证FGBC=CEBG，只需证，而这四条线段分别属于BFG和BEC，能发现这两个三角形存在公共角EBC，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等”来证明相似.顺推：图5103(a)可分解出两个射影定理的基本图形“RtADE中DGBE”及“RtBDC中DFBC”，在两个三角形中分别使用射影定理中的BD2进行代换，得到BGBE=BFBC，化成比例式后，可用“两边对应成比例，夹
8、角相等”来证明含有公共角EBC和BFG和BEC相似.三、师生共同小结1.直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式射影定理.2.已知“直角三角形斜边上的高”图形中六条线段中的任意两条，就可求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想.3.在复杂图形中分解出射影定理的基本图形来使用它的性质进行证明，是一种常用的证明段段等积式的方法，必要时需结合代换线段或线段的等积式来解决问题.四、作业课本第246页第6项，选作第247页B组第3题.补充题：1.已知：如图5104，RtACB中，CDAB于D，在CB的延长线上截取BE=BC，连结EA，ED.求证：1=2.(提示：利用射影定理，并代换线段得到EB2=BDBA，证明EBDABE.)2.已知：如图5105.RtABC中，CDAB于D，E为BC上的任一点，EFAB于F.求证：AC2=ADAF+CDEF.(提示：结合射影定理AC2=ADAB，逆向探索解题思路：分析法得出只需证明ADBF=CDEF这可由ACDEBF来实现.)五、板书设计 课堂教学设计说明本节教案需用1课时完成.若时间富裕，教师可根据学生实际选用补充题中第2题，学习利用代数恒等变形证明特殊结论的分析方法，或证明图5103(d)中关于a3,a2:b2,a3:b3类型的题目.
