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1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享第4节函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）是奇函数关于原点对称2.函数的周期性（1）周期函数：对于函数yf（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（xT）f（x），那么就称函数yf（x）为周期函数，称T为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周
2、期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.1.对称性的三个常用结论（1）若函数yf（xa）是偶函数，则函数yf（x）的图象关于直线xa对称.（2）若对于R上的任意x都有f（2ax）f（x）或f（x）f（2ax），则yf（x）的图象关于直线xa对称.（3）若函数yf（xb）是奇函数，则函数yf（x）的图象关于点（b，0）中心对称.2.函数周期性的三个常用结论对f（x）定义域内任一自变量的值x：（1）若f（xa）f（x），则T2|a|；（2）若f（xa），则T2|a|；（3）若f（xa），则T2|a|.3.函数f（x）满足的关系f（ax）f（bx）表明的是函数图象的对称性
3、，函数f（x）满足的关系f（ax）f（bx）（ab）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.（1）函数yx2在x（0，）时是偶函数.（）（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）0.（）（3）若函数yf（xa）是偶函数，则函数yf（x）的图象关于直线xa对称.（）（4）若函数yf（xb）是奇函数，则函数yf（x）的图象关于点（b，0）中心对称.（）答案（1）（2）（3）（4）解析（1）由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在（0，）上不是偶函数，（1）错.（2）由奇函数定义可知，若f（x）为奇函数，其在x0处有意义时才有f（0）0，（2）错
4、.2.已知f（x）ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是（）A. B. C. D.答案B解析依题意b0，且2a（a1），a，则ab.3.（2021衡水中学期中）下列函数中，既是偶函数又在（0，）上单调递增的是（）A.yln |x| B.yx2C.yex D.ycos x答案A解析根据偶函数的定义f（x）f（x），可得选项A，B，D是偶函数，yx2在（0，）上单调递减，ycos x在（0，）上有增有减，yln |x|在（0，）上单调递增.故选A.4.若函数yf（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（2 020）f（2 019）（）A.2 020 B.0C.1 D.2 020答
5、案B解析因为f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f（1）f（1）f（1），所以f（1）0，且f（0）0，而f（2 020）f（21 0100）f（0）0，f（2 019）f（21 0091）f（1）0，故选B.5.（2021大连双基测试）已知定义在R上的奇函数f（x）exaex，则a的值为.答案1解析因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）e0ae01a0，解得a1.6.设a0且a1，函数f（x）为奇函数，则a，g（f（2）.答案22解析f（x）是R上的奇函数，f（0）0，即a0120，a2；当x0时，x0，g（f（2）g221222.考点一函数奇偶性的判断【例1】 判断下列
6、函数的奇偶性：（1）f（x）；（2）f（x）；（3）f（x）解（1）由得x23，解得x，即函数f（x）的定义域为，从而f（x）0.因此f（x）f（x）且f（x）f（x），函数f（x）既是奇函数又是偶函数.（2）由得定义域为（1，0）（0，1），关于原点对称.x20，|x2|2x，f（x）.又f（x）f（x），函数f（x）为奇函数.（3）显然函数f（x）的定义域为（，0）（0，），关于原点对称.当x0，则f（x）（x）2xx2xf（x）；当x0时，x0且a1），则函数f（x）的奇偶性（）A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关（2）（2
7、019北京卷）设函数f（x）cos xbsin x（b为常数），则“b0”是“f（x）为偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案（1）D（2）C解析（1）函数f（x）b的定义域为（，0）（0，），f（x）bb.当b1时，易知函数f（x）为奇函数，当b1时，函数f（x）为非奇非偶函数，所以函数f（x）的奇偶性与a无关，但与b有关，故选D.（2）f（x）cos xbsin x为偶函数，对任意的xR，都有f（x）f（x），即cos（x）bsin（x）cos xbsin x，2bsin x0.由x的任意性得b0.故f（x）为偶函数b0.必要性成
8、立.反过来，若b0，则f（x）cos x是偶函数.充分性成立.“b0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件.故选C.考点二函数奇偶性的应用【例2】 （1）（2021浙江名校仿真训练）已知函数f（x）2x，则满足f（x25x）f（6）0的实数x的取值范围是.（2）（2019全国卷）已知f（x）是奇函数，且当x0f（x25x）f（6）f（x25x）f（6）x25x6，解得2x0，x0时，f（x）f（x）eax，所以f（ln 2）ealn 2（eln 2）a2a8.解得a3.感悟升华（1）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f（x）f（x）0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得
9、参数的值或方程（组），进而得出参数的值.（2）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式或函数值.【训练2】 （1）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）x3x21，则f（1）g（1）（）A.3 B.1 C.1 D.3（2）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）x22（x0），若f（a2）0，则a的取值范围为（）A.2，22，）B.2，2C.2，2D.2，）答案（1）C（2）A解析（1）因为f（x）是偶函数，g（
10、x）是奇函数，所以f（1）g（1）f（1）g（1）（1）3（1）211.（2）函数f（x）的图象如图所示，由题可知f（0）0且f（）0，则a20或a2，解得2a2或a2，故选A.考点三函数的周期性及其应用【例3】 （1）设定义在R上的函数f（x）满足f（x2）f（x），且当x0，2）时，f（x）2xx2，则f（0）f（1）f（2）f（2 019）（2）（2021义乌市联考）已知函数f（x）为偶函数，且f（1x）f（3x），当2x0时，f（x）3x，若nN*，anf（n），则a2 021（）A. B.3 C.3 D.答案（1）1 010（2）D解析（1）f（x2）f（x），函数f（x）的周期T2
11、.又当x0，2）时，f（x）2xx2，f（0）0，f（1）1，f（0）f（1）1.f（0）f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）f（2 018）f（2 019）1，f（0）f（1）f（2）f（2 019）1 010.（2）因为函数f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，又由f（1x）f（3x）知，图象关于x2对称，所以函数f（x）是周期函数，且最小正周期T2（20）4，所以a2 021f（2 021）f（1）f（1），故选D.感悟升华（1）根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.（2）若f（xa）f（x）（a是常数，且a0），则2|a|为函数f（x）的一个周期.【训练3】 （1）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x2）f（x），且在0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A.0f（1）f（3） B.f（3）0f（1）C.f（1）0f（3） D.f（3）f（1）0（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x2），当2x3时，f（x）x，则f（105.5）.答案（1）C（2）2.5解析（1）由函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）0.由f（x2）f（x），得f（x4）f（x2）f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数，所以f（3）f（1
