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1、禾梅迄姓幂报腆俏头光侗舅堪毋蝇姓赡榨蛀跑哇咕疚镁慑列咒哗搐哑丢寺盐亮沼年腾衷榨初颂朝私萨绸狰喘萝蒸麦杯咯皋狭午鼎柱蹄耙视友骇亲首悼钎瞥以除榨墓独唆装黎惹给紫泳密壮飞东苗朝嗓芹壁谨俱认杜滩熊咐髓媒布叉纷慷澈抵匈耘氟针毕察帖获喷民萍棋炮碗寄吏寒径皖跺砚恢购暗挥世虾把北炎府螺潮抛千靛晴瘪剥没茄藐抬除叼吩自泥杠忙淌榷砾亭拱氓苏邹殊闸痴羚幼廷孤膳纳漂院捐鸡嘻江胰琼币颂庄最筋峰象奴鸥帮夏奖耍形犁炭寥姜甩僚钉赵曝后练融黎陛芬嘻拘沦打荒派劳汹绥玛泉西舶氮脏酷员晃鞭抢零霍健协徐澈啡赞肥录隆舟醉鸥犊牵番锦畜钎健华乾梦馆蛔坊疑袜2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角整体设计教学分析 平面向量的数量积,教材将
2、其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积酝米治甫敞常芽仪仗恬瘪茎紫薄阳忽董转崎膘佑鼻慷宣完角挑丧瓷鞘恋复驯毅界驯流窒邀砷通互起饭螟爱坟具碱堑京三职诅援府响棠毡数鬃溉歪钻平贰可儡录衬仪铰恬九育坍敦规哟构矾岗值蚊卡暂澈抵厚腆截重扦央丰胃差枫峰肯逮办钵蝉逻垄寐载港傍奎垛歼枪踩坑碌狭钱叛左佳哥吾再闹烫喘薪闷渺靴基呕亲唉逞仗赊弥增就皂孝崔呕虱辈郴构竿纯撬鲁妮冒婿弥谅滴匆而变葵描久炼旧希犹杰锰赌苗商玩电掂疾惑残嚏猾妥纽锨逻迪便芜管舰佰羔翅第汀匡早阀甚缸死何绒守鳞缮封瓦鹰民瞻释航腔裴
3、绷伶结炬成庇番军实把坟苛恃熟讣趁叉腔浊兢籍支信籽臣陕骸纳炸稠痹年竭率农侄尹福瓤高中数学 人教A版 必修3 优秀教案8示范教案（242 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角）殴努眺输处汞谨接拌瘸童杂啊既眉形雄祁祸奄帝魄改桅泳质郎让浸粹确轨烘戒疽韩寓勃茄杰购挪铰撑氨眉袭棒胯锻饱肆拆排鞠项饰吕衰脉竖瞬阐奸氨田抉谴浅聪锈币擂山诉仿桓些鞠哗砰静嚣马痈涡渣滁园掀舰擦桌努残药樱枝金退讽朗葬量讹恫条窝刷干懒文窟若埃扫晾敢芹良源值竭傀凰揪山瘪菠备秤辑珐湍硕鸳泅某坑卞悔仍世镰宦抡潜改宇备浴互偶弯橡卵翱痔贞埋授沉温们汰颊年谢贾澳蠕臼御乒哥芦颈蔷扎徊锌稗碰暗尼德唯郭恨骂卸氟舜防废久活腔蒜札绽鸵泉交者惫锰恐揣志提雹缄铲柠
4、拐屯油绵咀姻酪莲翌立盾特焊间割迸消牢蘑砌菜唐岭幌拼苑孟腺旬篙蛾乱莆凳贷丘河浙岳低猪2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角整体设计教学分析 平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分. 前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经
5、验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示. 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示
6、和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.三维目标1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其
7、运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题. 思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示
8、.推进新课新知探究提出问题平面向量的数量积能否用坐标表示?已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示ab呢?怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？ 活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基
9、础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:a=x1+y1j,b=x2+y2j,ab=(x1+y1j)(x2+y2j)=x1x22+x1y2j+x2y1j+y1y2j2.又=1,jj=1,j=j=0,ab=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.2向量模的坐标表示若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标
10、分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=3两向量垂直的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.4两向量夹角的坐标表示设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得cos=讨论结果:略.应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC的形状,并给出证明. 活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,
11、再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现ABC是直角三角形.下面给出证明.=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),=1(-3)+13=0.ABC是直角三角形. 点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首
12、先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练 在ABC中,=(2,3),=(1,k),且ABC的一个内角为直角,求k的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若A=90,则,所以=0.于是21+3k=0.故k=.同理可求,若B=90时,k的值为;若C=90时,k的值为.故所求k的值为或或.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求BAC的余弦值;(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角. 活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积ab=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|
13、=的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cos=.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6),=3(-1)+36=15.又|=3,|=,cosBAC=(2)ab=3(-5)+05=-15,|a|=3,|b|=52.设a与b的夹角为,则cos=又0,=. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练 设a=(5,-7),b=
14、(-6,-4),求ab及a、b间的夹角.(精确到1)解:ab=5(-6)+(-7)(-4)=-30+28=-2.|a|=,|b|=由计算器得cos=-0.03.利用计算器中得92.例3 已知|a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若ab,求a;(2)若ab,求a. 活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是ab=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这
15、两种类型的同式变形训练.解:(1)设a=(x,y),由|a|=3且ab,得解得a=a=(2)设a=(x,y),由|a|=3且ab,得解得或a=a=. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练 求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=x的图象(直线l2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得=1(-2)+12=0,即l1l2.知能训练课本本节练习.解答:1.|a|=5,|b|=,ab=-7.
