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1、高一（下）期末复习 2012-6-15第一讲 不等式的性质与解不等式一、知识清单(一)、不等式的概念及基本性质1、实数运算性质与大小顺序关系 （1） （2） （3）2、不等式的基本性质（1）对称性：abba (2)传递性：ab，bcac(3)可加性aba+cb+c (4)可乘性：acbc；acbc(5)可乘方性：ab0anbn（nN，n2）(6)可开方性：ab0（nN，n2）（7）叠加性：ab，cda+cb+d（不等式同向可加）（8）叠乘性：ab0，cd0acbd（不等式同向为正可乘）注意：不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法，如：求的范围可以转化成求的范
2、围，求的范围可以转化成求的范围。方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差变形（通分、因式分解、合并同类项等）与0比下结论。如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商变形（通分、因式分解、合并同类项等）与1比下结论。(二)、不等式的解法 1、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为的形式。当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为。2、一元二次不等式的解法一元二次不等式或分及情况分别解之，如设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：或或R
3、RR3、解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解。(1)分式不等式的解法： 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式化成不等式组解不等式组得解集。(2)指数不等式 ；对数不等式 （1）当时，；（2）当时，。4、解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。5、求解不等式恒成立问题的常用思想方法：（1）分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。（2）.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。（3）数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。一元
4、二次不等式恒成立的条件:(1)恒成立的等价条件是 ;(2)恒成立的等价条件是 二考点解析考点1：不等式的性质考点2：解不等式解不等式 （1） 5x23x11 （2）解（1）（2）考点3：含参数的一元二次不等式的解法1.解关于x的不等式ax2(2a1)x20，a0，a0的情况和方程ax2(2a1)x20两个根的大小进行分类求解解不等式ax2(2a1)x20，即(ax1)(x2)0时，不等式可以化为(x2)0.若0a2，此时不等式的解集为；若a，则不等式为(x2)2，则2，此时不等式的解集为.(2)当a0时，不等式即x20，此时不等式的解集为(2，)(3)当a0.由于2，故不等式的解集为(2，)综
5、上所述，当a0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围2对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围3.若函数f(x)4xa2xa1的图象与x轴有交点，求实数a的取值范围 4.若不等式x2(a1)xa0在(1,3)上有解，则实数a的取值范围是 【解析】方法1：原不等式可化为(x1)(xa)1.所以实数a的取值范围是(1，) 注意:对于给定集合M和给定含参数的不等式f(x)0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：三方法突破典例1. 已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0 (1)
6、用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围 1. (1)证明 任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2)解 f(x)在1，1上为增函数， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t
7、22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 2. 设,，,求证：() a0且21；()方程在（0，1）内有两个实根.2. 证明：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.四课后练习1已知为非零实数，且，则下列命题成立的是(C )A B . C. D .2如果，那么，下列不等式中正确的是（A ）A. B
8、. C. D.解：如果，那么， ，选A. 3若，则下列不等式成立的是(C ) A. . B. . C. D.解：应用间接排除法取a=1,b=0，排除A. 取a=0,b=-1，排除B; 取c=0，排除D故应该选C显然 ，对不等式ab的两边同时乘以 ，立得 成立4若0a1，则下列不等式中正确的是（A ）A（1a）（1a）Blog1a（1a）0C（1a）3（1a）2 D（1a）15.设均为正数，且，则（A）A. B. C.D.6若a0，b0，则不等式ba等价于（D ）Ax0或0x B.x C.x D.x解：故选D7.已知函数，则不等式的解集是（A）A. B. C. D.8.已知为R上的减函数，则满足
9、的实数的取值范围是（C）A（1，1） B（0，1） C（1，0）（0，1） D（，1）（1，）9设a、b、c为ABC的三边，则(C)Aa2b2c2abc Ba2b2c2abbcacCa2b2c22(abbcac)答案C解析c2a2b22abcosC b2a2c22accosB a2b2c22bccosAa2b2c22(a2b2c2)2(abcosCaccosBbccosA)a2b2c22(abcosCaccosBbccosA)0，则t2(k1)t20在t0时恒成立第二步分0和0讨论(1)由0，得21k0，t20又t1t2k10得32x(k1)3x20，解得k13x，而3x2，k12，k，则实数的取值范围是 bm0.由于其解集是(，)，所以(a3)280，即a26a10；x(，3)(2，)时，f(x)0.(1)求yf(x)的解析式；(2)当c为何值时，ax2bxc0的解集为R.
