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1、专题02平面向量基本定理及坐标表示(专题测试)1. (2020广东东莞市高一期末)已知向量a =(2,3), b =(m,6)，且a丄b，则m二()A. 4B 4C9D 9【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量a = (2,3)，b =(m,6)因为a 丄 b，可得a -b = 2xm + 3x6 = 2m +18 = 0，解得m = 9.故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向 量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2. (2020广东揭阳市高一期中)已
2、知AB = (1,-1)，C(0,1)，若CD = 22AB，贝Q点D的坐标为A. (2,3)B. (2, 3)C(2,1)D(2,1)【答案】D【分析】设出D的坐标，代入CD = 2AB，计算出D点的坐标.x = 2，解得D(2,1)，故选D.【详解】设D(x,y)，则CD = (x,y1)，22AB = (2, 2)，根据cd = 2AB 得(x,y1)=(2, 2)，即y1 = 2【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题3. (2020广东汕头市高二期末)如图所示，已知在厶ABC中，。是边AB上的中点，则CD =()a. BC -1 BA2b.
3、-Be+1 BA2c. -Be -1 BA2d. Bc+1 BA2【答案】B 【分析】利用向量减法和数乘运算求得正确结论. 【详解】CD = BD - BC = -BA- BC = -BC + -BA .故选：B 224. （2019广东深圳市福田外国语高中高三一模（文）向量a二（1,2），b = （-2,k），若a与b共线，则I 3a + b （）A. J5B-45C 5j-D 5【答案】A【分析】通过向量共线求出k，然后求解3a + b 即可.【详解】向量a （i,2）, b （-2,k）, a与b共线, k -4，即 3a + b （1,2）3a + b - JI2 + 22 J5 故选
4、：A.【点睛】本题考查向量的共线，向量的模的求法，属于基础题5. （2020-东莞市光明中学高二月考）已知向量a （3,2）, b （x,4）且a/b，则x的值是（）88A. 6BC 6D-二33【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x的等式，由此可解得实数x的值.【详解】向量a （3,2）, b （x,4）且a/b , 2x 12，解得x 6.故选： C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题6. （2020汕头市澄海中学高二期中）已知向量a （2,-1），b （一5,4）, c （x, y），若+ b）丄c，则x、y可以是（）A. x1，y1B. x0，y1C
5、. x1，y0D. x1，y-1【答案】A（J【分析】根据场+c 0可得x y.【详解】因为9 +乙丿丄c，所以9 + b)c = (3,3)(x，y)=3x + 3y = 0，即x = y，故选：A.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题7 (2020广东深圳市高一期末)设向量a = (x, x +1)，b = (1,2)，且a丄b，则x =()2 - 3B.D【答案】A【分析】由a丄b得a -b = 0，建立方程求解即可.【详解】：a 丄 b，: a -b = x + 2(x +1)= 0，解得X = -3 .故选：A.【点睛】本题考查向量垂
6、直的坐标表示，属于基础题.8. (2012广东湛江市)已知向量 a =(3,4 )，b = (sin a ,cos a)，且 a / b，则 tan a =()AB.C.D.【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果.3【详解】因为a / b，所以3cos a-4sin a= 0，所以tan a =才故选：A.【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题9.(2020广州市广东实验中学高三月考(文)已知向量a = (x, y),b =(1,2)，且a + b =(1,3),则a 2习等于()A. 1 B. 3C. 4 D. 5【答案】D【分析】先根据已知求
7、出x,y的值，再求出a 2b的坐标和|a-2b|的值.【详解】由向量a = (x,y),b = (1,2)，且a + b = (1,3)，则a + b = (x 1,y + 2) = (1,3)，解得x = 2,y =1，所以a =(2)，b = (1,2)，所以a 2b = (2,1) 2(1,2) = (4, 3)，所以a 2b =(42 + (3)2故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.(多选题)(2020廉江市第三中学高二月考)如果平面向量a = (2,0)，b = (1,1)，那么下列结论中正确的是()A.
8、 |a|p2 |b|B a - b = 2*2c. (-b)丄 bDa/b【答案】AC【分析】根据题中条件，由向量模的坐标表示，数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，逐项判定,即可得出结果.【详解】由平面向量a二(2,0)，b = (1,1)知:在A中,ai = 2, b，故A正确;在B中,ab 2，故B错误;在C 中,a - b = (1,-1)，: ( - b 丿 b = 1 -1 = 0，故C正确;在d中，1主0，: a与b不平行，故d错误.故选：AC .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量共线的坐标表示等，属于基础题型11. (2021广东高三其他模拟)在ZA = 9
9、0。的等腰直角ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点,BC = XAF + pCE，则九=()2A. - 34C-3D. -1【答案】【分析】以A为原点建立直角坐标系，设直角边长为2,写出各点坐标，计算可得九的值.以A为原点建立直角坐标系,【详解】设 B(2,0 ), C(0,2 )，则 F (1,1), E (1,0)则BC = (-2,2),九AF + 卩CE =九(1,1)+卩(1,-2)=(九+ 卩,九一2卩)祝 + p = _22所以九-22 所以3.故选：A1 -12. （2020广东高三月考）已知菱形ABCD的边长为2, ZA = 60。，点P满足AP二空（AB + AC），则
10、PA - PD =（）A. 0B3C3D.【答案】C【分析】如图，以菱形ABCD的对角线AC方向为x轴方向，DB方向为y轴方向建立平面直角坐标系，由1 -AP二2（AB + AC），可知P点为线段BC的中点，由ZA = 60。，菱形ABCD的边长为2,可求出P,A,D的坐标，从而可求出PA- PD的值【详解】以菱形ABCD的对角线AC方向为x轴方向，DB方向为y轴方向建立平面直角坐标系, 根据AP二2（AB + AC），可知P点为线段BC的中点，又因为ZA = 60。，所以，PA =PD =运 |所以，PA-PD = 3,13. （2020广东汕尾市高一月考）已知向量：= （1,2），b =（
11、2, t） 若a丄b，则t =，此时a与a + b的夹角为n【答案】1-【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t的值.利用夹角公式，求得a与a + b的夹角的余弦值，进而求得a与a + b的夹角.【详解】由于a丄b，所以（1，2）.（2，）=2+2t=0，解得t=_i(a+b)(1,2)(3,1)12 + 22 吕 + 12所以 b =(2,1), a + b =(3,1).fff设a与a + b的夹角为0，则cos0由于00,兀,所以0=牛.n故答案为：j ； 4【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，属于 中档题.14（2021全国
12、高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、 防潮地板砖品种非常多，图案也多种多样如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA = a，OB = b，则AF =（）B【答案】DDa色b3【分析】以AB的中点M为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量 基本定理进行求解即可.【详解】以AB的中点M为坐标原点建立平面直角坐标系,设 |AB| = 2，则 d, A(-1,0)，B(10)，F C,2 + 2爲)，所以A = C1,-启)，OB = G,-RAF =-f 2 + 迈:OA
13、-迺 OB，即 AF =-f 2 + 至3丿3，即3丿a字b，故选：dbAF =,2 +.设AF =XOA + OB，则九 + p = 22 + 2羽，解得k = -2 卫3厂，所以点睛】用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进(行.73 3 sin x,(x e0,- 2丿VV 3丿丿行求解.15. （2020广东高一期末）已知向量a = （l,2cos x）,b =(1)若 a /b，求 tan2r 的值;（2）若fCx）= a b，贝j函数f （x）的值域.【答案】（1），（2）C6J3【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得2朽sinxcos
14、x-= 0，根据二倍角的正弦公式可得2sin 2x =，根据x的范围可得2x =，进一步可得tan 2x =-2 63（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得f （x） = J6sin（x +扌），再根据x的范围, 结合正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）因为a/b，所以 , 3sin xcosx-3 = 0，所以 sin2x = 22 2c兀c r2兀C 兀因为0 V x V ，所以0 V 2 x V，所以2 x =3 36所以 tan2x = tan= 3 .63(2) f (x) = a -b =、J 3 sin x + 2cos x x 3 =、3 sin x +、3 cos x = 6 s
