鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

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1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题解说【鸡兔问题公式】（）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少:(总脚数每只鸡的脚数总头数)（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是（每只兔脚数总头数-总脚数）(每只兔脚数-每只鸡脚数)鸡数;总头数鸡数=兔数。例如,“有鸡、兔共36只，它们共有脚1只，鸡、兔各是多少只？” 解一 (100-36）(4-2）=14(只）兔; 36-14=22（只)鸡。 解二 （436100)(-）22（只）鸡； -2=4（只）兔。 （答 略） （2)已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 （每只鸡脚数总头数-脚数之差）(每只鸡的脚数+每

2、只兔的脚数）=兔数;总头数兔数鸡数 或（每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差)（每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数; 总头数-鸡数=兔数。(例略) (3)已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。 （每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差)(每只鸡的脚数每只兔的脚数)=兔数; 总头数-兔数=鸡数。 或(每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差)（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数;总头数-鸡数兔数。（例略)（4）得失问题(鸡兔问题的推广题）的解法,可以用下面的公式: （1只合格品得分数产品总数实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数(每只不合格品扣分

3、数总产品数实得总分数）（每只合格品得分数每只不合格品扣分数)=不合格品数。 例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一种合格品记4分，每生产一种不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得35分,问其中有多少个灯泡不合格?”解一 (400-3525)（4+5） 47519=5（个) 解二1000-(150003525）（4+15) 10-152519=1000-525（个）（答略)(“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费,还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。)（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总

4、脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式： （两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差)(每只鸡兔脚数之差）2=鸡数; （两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和）(两次总脚数之差)(每只鸡兔脚数之差)2=兔数。 例如,“有某些鸡和兔，共有脚44只,若将鸡数与兔数互换，则共有脚5只。鸡兔各是多少只？”解 （52+4)(+2）+(52-44）（-2)2202=10(只)鸡(52+44）(4+2)-(24)(-2)2=12=6（只)兔(答略)鸡兔同笼目录总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 列表法 6详解 具体解法 基本问题 特殊算法 习题8鸡兔同笼公式总述鸡兔同笼

5、是中国古代的数学名题之一。大概在5前,孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样论述的:“今有雉兔同笼，上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一种笼子里，从上面数，有35个头,从下面数,有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔?算这个有个最简朴的算法。（总脚数-总头数鸡的脚数)（兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数 (9352)(兔子数)总头数(3）兔子数（12）=鸡数(23） 解释：让兔子和鸡同步抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数2只,由于鸡只有2只脚,因此笼子里只剩余兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2假设法假设全是鸡:25=(只)

6、鸡脚比总脚数少：-024（只) 兔:24(-)=12 （只）鸡：32=23(只) 假设法（通俗） 假设鸡和兔子都抬起一只脚,笼中站立的脚: 9-5=59（只） 然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了,只剩余用两只脚站立的兔子，站立脚:59-3524(只) 兔:242=12(只） 鸡:3-12=23(只)方程法一元一次方程解:设兔有x只,则鸡有(35-）只。 4x+2（35-）9 4x+72x94 2x=94-72x=24 x24 x1351223（只) 或 解:设鸡有只,则兔有（35）只。2x+（5-)=92x+40x=94 x=46 x2335-2=12（只)答:兔子有12只，鸡有

7、23只。注:一般设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其她类似鸡兔同笼的问题上，好算某些。二元一次方程解：设鸡有x只,兔有y只。=352x+4y94（x+y=35)22x+2y=70(2x+2y70）（2x4y=9)=(2y4)y2把y=12代入（x=)x+12=35=312(只)x=23（只）。答：兔子有2只，鸡有23只4抬腿法 法一 如果让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，尚有9除以2=4只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。法二如果鸡与兔子都抬起两只脚,还剩余945=24只脚 , 这时鸡是屁股坐在地上,地上只有兔子的脚，并且每只兔子有两只

8、脚在地上,因此有242=12只兔子，就有312=只鸡5列表法腿数鸡(只数）兔(只数)6详解中国古代孙子算经共三卷，成书大概在公元5世纪。这本书浅显易懂,有许多有趣的算术题，例如“鸡兔同笼”问题: 今有雉兔同笼，上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?题目中给出雉兔共有35只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚,那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是352=70(只）,比题中所说的94只要少9-70=24（只)。 目前,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增长2只，即+2=2(只)，再松开一只兔子脚上的绳子，总

9、的脚数又增长2,，2，2，始终继续下去,直至增长2,因此兔子数：242=12（只),从而鸡有-12=23（只）。 我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少,每差2只脚就阐明有1只兔，将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地,也可以假设全是兔子。 我们也可以采用列方程的措施:设兔子的数量为x，鸡的数量为 那么：x+35那么4x+2y=9 这个算方程解出后得出：兔子有1只,

10、鸡有3只。7具体解法基本问题 鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出目前孙子算经中许多小学算术应用题都可以转化成此类问题,或者用解它的典型解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路 例1 有若干只鸡和兔子，它们共有8个头，24只脚，鸡和兔各有多少只 解：我们设想,每只鸡都是金鸡独立，一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人同样用两只脚站着。目前,地面上浮现脚的总数的一半，也就是2442=122(只). 在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相称于算了两次。因此从12减去总头数,剩余的就是兔子头数1-88=34（只)， 有34只兔子固然鸡就有54只。 答:有兔子4只,鸡5只。上面

11、的计算，可以归结为下面算式： 总脚数2-总头数=兔子数 总头数-兔子数=鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，立即能求出兔子数，多简朴!可以这样算,重要运用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍可是,当其她问题转化成此类问题时，脚数就不一定是和2,上面的计算措施就行不通。因此，我们对此类问题给出一种一般解法.还说例1. 如果设想88只都是兔子,那么就有88只脚,比24只脚多了 884-244=08（只). 每只鸡比兔子少(42)只脚，因此共有鸡(244)(4)5(只). 阐明我们设想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=（兔脚数总头数-

12、总脚数)(兔脚数-鸡脚数）. 固然，我们也可以设想只都是鸡，那么共有脚28=17（只）,比244只脚少了 241768(只) 每只鸡比每只兔子少(42)只脚, 682=4（只）. 阐明设想中的鸡,有34只是兔子,也可以列出公式 兔数=（总脚数鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）. 上面两个公式不必都用,用其中一种算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就懂得另一种数。 假设全是鸡，或者全是兔,一般用这样的思路求解,有人称为假设法. 目前，拿一种具体问题来试试上面的公式。 例红铅笔每支0.1元，蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了6支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支? 解:以分作为钱的单位.我们设想,

13、一种鸡有11只脚，一种兔子有19只脚，它们共有个头,280只脚。 目前已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.运用上面算兔数公式,就有蓝笔数(1916-20)(1-11) 248 3（支）红笔数1-3=3(支). 答：买了13支红铅笔和支蓝铅笔。对于此类问题的计算，常常可以运用已知脚数的特殊性例2中的脚数9与1之和是30.我们也可以设想16只中，8只是兔子,8只是鸡,根据这一设想，脚数是 8(119)=0（支）。 比28少4. 40(1-1)=5（支)。就懂得设想中的8只鸡应少5只,也就是鸡(蓝铅笔)数是3. 38比1916或1116要容易计算些。运用已知数的特殊性，靠心算来完毕计算. 事实上，可以任意设想一种以便的兔数或鸡数。例如,设想16只中，兔数为10,鸡数为6,就有脚数 1910+16=26. 比20少4. 24(191)=3， 就懂得设想6只鸡,要少只。 要使设想的数，能给计算带来以便,常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子。 例 一份稿件,甲单独打字需6小时完毕.乙单独打字需0小时完毕,目前甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？ 解:我们把这份稿件平均提成30份（是6和10的最小公倍数），甲每小时打36=5(份）,乙每小时打3