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1、题根研究两点定线 方程寻根一、两点式 直线方程的定义式直线本无定义，而我们在这里要为直线方程作定义，意义在把“两个条件确定一条直线”提到直线的奠基的高度.“两点线”是平面几何的说法：平面上的不同两点可确定1条直线.“两点式”则是解析几何的概念：平面上的不同两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)确定的直线方程为：( x x1) ( y2 y1)=( y y1)( x2 x1)该方程称作直线方程的“两点式”，它把直线所需要的2个条件带进了解析几何.当x1x1，且y1y2时，直线方程的两点式还可以写成以下“分式形式”：【例1】 已知四边形四个顶点坐标为A(1，2)，B(1，3)，C(2，3)，D
2、(2，4).在这个四边形的四条边中，有没有垂直于x轴的直线和过原点的直线？【解析】 对AB边，代x1=1，y1=2，x2=1，y2=3于直线方程的两点式：( yy1)(x2x1) = (xx1) (y2y1)得AB方程为 x=1同理得BC方程为 (y3) (2+1) = (x+1) (33) 即 2x + y-1 = 0CD方程为 x=2 AD方程为 2x+y=0垂直于x轴的直线有AB，CD，过原点的直线有AD.【说明】 两点确定一条直线，在解析几何中，是由两点的坐标确定这条直线的方程，或者说，由两个“有序数对”确定一条直线的方程.二、点斜式 直线方程的点向式在直线的两点式方程( yy1)(x
3、2x1) = (xx1) (y2y1) （）中，若x1x2，即直线与x轴不垂直，此时由直线的两点式变为 （）我们称方程（）为直线的“点斜式方程”.它经过平面上的定点P1(x1，y1)且斜率为代k于（），则有直线点斜式的“标准形式”yy1 = k (xx1) （）平面上不垂直于x轴的直线都有斜率，因此它们都能用“点斜式”方程表示.直线方程在由两点式向点斜式演变过程中看到，直线的斜率替代了两点式中的1个点，确定直线的两个条件没变. 直线的点斜式实为直线的“点向式”：一个点和一个方向，可以确定一条直线.这个斜率k可以为任意实数值（包括k的极限+在内），可与直线的倾斜角（00，所以解得 故所求直线方程
4、为2x+5y-10=0或8x+5y+20=0.【说明】 题设条件中涉及与两坐标轴围成三角形面积时，通常用截距式处理，但注意在解决有关面积问题要加绝对值.五、一般式 直线方程的代数式 从代数的角度看待直线方程，直线方程是关于x、y的一次方程:Ax+By+C=0（A、B不全为0） （1）这就是直线方程的一般式.当B0时，方程Ax+By+C=0可改写为 它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线（斜截式）特别地，当A=0时，它表示平行于x轴的直线. 当B=0时，则有A0知，方程Ax+By+C=0可改写为x=，它表示垂直于x轴的直线. 因此，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不全为0
5、），在平面直角坐标系中都表示一条直线.由于A、B不同时为0，不失一般性，设B0，此时，将（1）两边同除以B，得直线方程为：ax+y+c=0 (2)由此看到，在含有三个参数的直线方程（1）中，实际上只有两个独立的参数a，c（方程（2）.由此可知，无论直线方程写成哪种形式，它的独立条件只有两个.【例5】 求证：不论m取何实数，直线l：（m1）x+（2m1）ym+5=0恒通过一定点.【证法1】 把原方程变形为（x+2y-1）m-（x+y-5）=0，此关于m的方程有无数多个解的充要条件为 故不论m为何实数，直线l恒过定点（9，4）.【证法2】 取m=1得直线方程y=4;取m=得直线方程x=9.易知两直
6、线的交点为P（9，-4），代入原方程的左端得（m-1）9+（2m-1）(-4)-m+5=9m-9-8m+4-m+5=0.所以，点P（9，-4）在直线l上.故不论m取何实数，直线l恒过定点P（9，-4）.【点评】证法1运用直线系的观点；证法2是先将方程特殊化求得交点的坐标，然后证明无论m为何值直线恒过此点.六、参数式 直线的方程组式曲线方程是一个关于x、y的二元方程F（x，y）=0，这个方程将两个变量统一在“一个方程”之中.有时需要单独研究关于x（或y）的问题，我们还可以引入一个第三者参数t将x、y分别表示出来，则有如下的形式这就是曲线方程的参数式，即方程组式.对于直线来讲，这个参数t的选取是多
7、样的.如我们从直线方程的两点式出发，令这个比例式的公比为t，则由，得到过两点直线l的参数方程当t=0时，得点P1（x1，y1），当t=1时，得点P2（x2，y2）.这样，就可以建立从实数t的集合到直线上点P（x，y）的集合的一个一一映射.【例6】 已知直线l过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，参数t为实数.求证是直线l的参数方程.【证明】 （1）以参数方程的解（x，y）为坐标的点都在直线l上.过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程的两点式为：( x x1) ( y2 y1)=( y y1)( x2 x1) （）将参数方程中的代入（）式的左边，得左边= t（x2-x1）(
8、 y2 y1)同样将参数方程中的代入（）式的右边，得右边=t（x2-x1）( y2 y1)=左边故参数方程的每一个解都适合方程（），故参数方程的每一个解的坐标都在直线l上.(2)直线l上的任意点P（x，y）的坐标都是参数方程的解.设P（x，y）是l上任意一点.当P落在P2位置上时，可将(x2，y2)代入参数方程，得到对应的t=1.当P在l上的其他位置时，按定比分点公式，存在着参数，使得：x=，y=，将x，y同时代入参数方程，解得故P（x，y）是对应方程的解.【点评】 直线方程的参数式实际上对二元方程的一种分解，当问题只与x，y相关时，可以进行分别研讨.直线的参数方程具有多样性，定比分点公式（）实际上也是直线参数方程的一种.若让=-1，与直线上的P2（x2，y2）对应，则也建立了一个实数与直线l上的点的一一映射.- 3 -
