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1、直角三角形存在性问题 直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得ABC是直角三角形，求点C坐标【几何法】两线一圆得坐标（1）若A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：【构造三垂直】求法相同，以为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似【代
2、数法】表示线段构勾股还剩下待求，不妨来求下：（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示线段：，；（3）分类讨论：当为直角时，；（4）代入得方程：，解得：还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1考虑到直线与AB互相垂直，可得：，又直线过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为，即坐标为确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、
3、BC；（3）分类讨论AB+AC=BC、AB+BC=AC、AC+BC=AB；（4）代入列方程，求解如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等【三垂直构造等腰直角三角形】【2019兰州中考（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在RtABC，ACB=90，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作DEAC于点，可以推理得到ABCDAE，进而得到AC=DE，BC=AE我们把这个数学模型成为“K型”推理过程如下：【模型迁移】二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度
4、沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒（1）求二次函数的表达式；（2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标 【分析】（1）；（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b，由图可知：，解得：故D点坐标为（1,3）同理可求此时D点坐标为（3,2）思路2：等腰直角的一半还是等腰直角如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求P点横坐标
5、同D点，故可求得D点坐标【2017本溪中考】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点B（3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）（1）求该抛物线的解析式（2）点在抛物线的对称轴上运动，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标【分析】（1）；（2）当POQ为直角时，考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P向x轴作垂线，长度必为1，故P的纵坐标为1如下图，不难求出P点坐标设P点坐标为，可得：解得：，（舍）如下图，对应P点坐标分别为、当OPQ为直角时，如图
6、构造OMPPNQ，可得：PM=QN设P点坐标为，则，QN=，若，解得：，（舍）若，解得：，（舍）如下图，对应P点坐标分别为、对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可【2019阜新中考】 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值（3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标
7、；若不存在，请说明理由【分析】（1）；（2）连接AC，将四边形面积拆为APC和ADC面积，考虑ADC面积为定值，故只需APC面积最大即可，铅垂法可解；（3）过点N作NEx轴交x轴于E点，如图1，过点M向NE作垂线交EN延长线于F点，易证OENNFM，可得：NE=FM设N点坐标为，则，解得：（图1），（图4）对应N点坐标分别为、；，解得：（图2）、（图3）对应N点坐标分别为、当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构
8、造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等【对称轴上寻找点】（2018安顺中考）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点坐标【分析】（1）直线BC：抛物线：；（2）将军饮马问题，考虑到M点在对称轴上，且点A关于对称轴的对称点为点B，故MA+MC=MB+MC，当B、M、C三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M
9、点坐标为（-1，2）；（3）两圆一线作点 P：以为例，构造PNBBMC，考虑到BM=MC=3，BN=PN=2，故点坐标为（-1，-2）易求坐标为（1,4）、求法类似，下求：已知PN=1，PM=2，设CN=a，BM=b，由相似得：，即ab=2，由图可知：b-a=3，故可解：，（舍），对应坐标为类似可求坐标为【抛物线上寻找点】（2018怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，
10、请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线：，直线AC：y=3x+3；（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点，有如下两种情况，先求过A点所作垂线得到的点P：设P点坐标为，则PM=m+1，AM=，易证PMAANC，且AN=3，CN=1，解得：，（舍），故第1个P点坐标为；再求过点C所作垂线得到的点P：，CN=m，解得：，（舍），故第2个P点坐标为综上所述，P点坐标为或【动点还可能在】（2019鄂尔多斯中考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（1）求抛物线的解析
11、式（2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值（3）以点为圆心，1为半径作圆，上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）；（2）过点P作x轴的垂线交EF于点Q，所谓PH最大，即PQ最大，易解（3）CM为直角边，故点C可能为直角顶点，点M也可能为直角顶点当为直角时，如图：不难求得CF=1，BF=2，又，可得：，故坐标为；同理可求坐标为当BMC为直角时，如图：不难发现CM=1，BC=，即MECBFM，且相似比为1：2，设EC=a，EM=b，则FM=2a，BF=2b，由图可知：，解得：故点的坐标为至于坐标，显然综上所述，M点坐标为或或或【总结】对于大部分直角三角形存在性问题，构造三垂直全等或相似基本上可解决问题，牢记构造步骤：（1）过直角顶点作水平或竖直线；（2）过另外两端点向其作垂线1
