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1、其他更多更好的资料见微信公众号或小编微信空间分类讨论【知识精要】一、知识要点概述1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显
2、的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段.2. 分类讨论的常见类型：（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等（3）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对
3、数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法二、解题方法指导1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩
4、小范围等.3.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”4.解题时把好“四关”(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；(2)要找准划分标准，把好“分类关”；(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.【精解名题】一 分类讨论的几种常见类型1. 存在关键型参变量例1设函数f(x)ax2x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围。【解析】当a0时，f(x)a（x）2 或或 a1或a；当a1，则等价于(x)(x2
5、)0.又210，2原不等式的解集为；(，)（2,）；若a1时，则等价于(x)(x2)0.由于2，当0a2，原不等式的解集为(2，).当a0时，2，原不等式的解集为(，2).当a0时，原不等式为(x2)20，解集为.综上所述：当a0时，原不等式的解集为；(，2)；当a0时，原不等式的解集为；当0a1时，原不等式的解集为；(，)（2,）.【点拨】：本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分a1和a1，在a1时，又需要讨论两个根2与的大小，又分为三类，即a0，a=0和0a1.例3 已知函数，实数为何值时，集合为一元集、二元集、三元集、四元集解：由已知得，令，在上作出g(x)的图像由图像可得，（1）当
6、，即a=4时，两图像只有一个交点（2）当，即2a4时，两图像有两个交点（3）当a-1=1or0，即a=2or1时，两图像有3个交点（4）当，即1a2时，两图像有4个交点综上所述，当a=4时，为一元集；当2a4时，为二元集；当a=2or1时，为三元集；当1a2时，为四元集【点评】本题在函数、集合、方程等知识点交汇处考查分析问题与解决问题的能力，解题关键是分类标准的划分，使问题由难变易、由大变小，条理清晰；同时还运用了数形结合思想。2. 根据数学概念的要求分类讨论例3 设0x0且a1，比较|log(1x)|与|log(1x)|的大小分析：比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所
7、以对底数a分两类情况进行讨论.解： 0x1， 1-x1.（）当0a0，loga（x）0；（2）当a1时，loga（1-x）0，所以loga（x）0.由（）、（）可知，【点评】 本题要求对对数函数y=logax的单调性的两种情况十分熟悉，即当a1时其是增函数，当0a1时其是减函数.去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性.例4试讨论关于x、y的方程（m-3）x2（5-m）y2=1所表示的曲线. 解： 分六种情况讨论如下： 当m=3或m=5时，方程分别表示两对平行的直线y=或x=； 当m时，方程表示圆x2+y2=1； 当m时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；
8、当3m4时，方程表示焦点在x轴上的椭圆； 当4m5时，方程表示焦点在x轴上的双曲线. 【点评】 虽然讨论的难度不算太大，但对实数m却进行了全程讨论，且是“三点四段式的讨论”，只是由于将“m或m=5”合并了，才表现为六种情况，几乎囊括了所有的曲线.在求轨迹方程及其方程曲线的问题中经常会遇到这类问题.3. 根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例5设等比数列a n的公比为q ，前n项和（n =1 , 2 , 3 ,）.（1）求q的取值范围；（2）设,记 的前n项和为，试比较与的大小 .注：（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在
9、不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论（2）分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题、差值比较中的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等（3）在构建数学模型解决实际问题的过程中，往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起分类讨论，特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想，解题目时要注意分类的原则是“不重不漏”4. 题中含有位置与形
10、状不确定的图形例6如图，已知一条线段AB，它的两个端点分别在直二面角P-l-Q的两个平面内移动,若AB和平面P、Q所成的角分别为a、b，试讨论a+b的范围. 解析：(1)当ABl时，a+b=90.(2)AB与l不垂直时，在平面P内作ACl，C为垂足，连结BC，平面P平面Q，AC平面Q，ABC是AB与平面Q所成的角，即ABC=b，在平面Q内作BDl，垂足为D，连结AD，同理BAD=a，在RtBDA和RtACB中，BDBC，,即sinasinBAC,a和BAC均为锐角，aBAC，而BAC+b=90，a+b90.(3)若AB与l重合，则a+b=0.综上讨论可知0a+b90.【点拨】：在几何问题中，研
11、究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏，对于多种可能的情况，必须分开来进行研究.例7已知A（2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足=t (t0且t1). （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）当t0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得F1QF2=120，求t的取值范围.解：(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x24)+=1轨迹C的方程为+=1（x2）. (2)当1t0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设=r1，= r2, 则r1+ r2=2a=4.在F1PF2中，=2c=4,F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2
12、=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（1+t）12, t.所以当t0时，曲线上存在点Q使F1QF2=120O 当t1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设=r1，= r2，则r1+r2=2a=4 t,在F1PF2中， =2c=4.F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（1t）12tt4.所以当t4时，曲线上存在点Q使F1QF2=120O综上所述，t的取值范围是二、应用（一）集合问题的分类讨论1. 已知集合和集合各含有个元素，含有个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数：（），且中含有个元素；（）（表示空集）.分析： 集合的个元素在中取得，中的元素包括两类：属于的元素；属于而不属于的元素.因此，组成的个元素的取法有四种：（）取个，取个；（）取个，取个；（）取个，取个；（）取个，取个，但由条件（）知，因此，第一种取法必须排除，故集合的个数是（）、（）、（）三种取法之和.解法 A，各有个元素，含有个元素， 中元素的个数是12+12-4=20（个）.其中，属于的元素个，属于而不属于的元素个.要使，则组成中的元素至少有个含在中，故集合的个数是（）只含中
