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1、第1章 数值计算基本概念1.1 概述关键词：CFD、微分方程离散方程、连续解离散点上的解1.1.1 CFD数值流体力学一般称为CFD(Computational Fluid Dynamics), 为流体力学的一个重要支柱。CFD即利用离散方法(discretization method), 将微分方程简化成代数方程式，通过计算机近似求解流体微分方程的方法。它的解是一些小的空间和时间上的区域上的解，称为离散点。CFD 同理论、实验并列。被人注目的理由之一是，它为计算机利用的力学（计算力学）的一面，特别是它为超级计算机的重要利用领域之一。此外，利用高度的图形处理，可将其结果表示非常美丽的图象，对年
2、轻人非常有魅力。因此，流体的数值模拟，在许许多多的领域内得到了利用。有许多人是在对数值计算方法了解的基础上，自己编程进行模拟。也有相当一部分人是用商用程序进行模拟。CFD包括面很广泛，从采用良好的工程设计方法，到详细求解Navier-Stokes方程；从简单流动到非常复杂的流动。简单的可能在几秒时间内就能完成，复杂的需要在最大的超级计算机上用几百个小时才能完成。完美的CFD应满足以下条件： 适用任何问题 计算速度快 能得到精度高且可信度高的结果 程序简单，谁都能简单使用 记忆容量少其实不然，以上的要求相互矛盾，至今无一程序能满足。提醒：连续介质Navier-Stokes, 非连续介质Boltz
3、man1.1.2 微分方程的求解方法将连续的数据用离散的数据来记录，称为离散化（discretization）。在离散的点之间用光滑曲线通过内插来连接。这样，即使对于假的离散数据，只要在头脑内想象成连续的函数即可认为在对微分方程进行求解。这样，只要已知现在的时间和空间，就可根据这些离散数据对想象进行预测。数值流体力学的问题一般是要了解每时每刻流场的变化过程。即对支配方程式进行积分求解。实际上是求空间离散点（网格）上的压力、速度等物理量。图示：离散化、控制方程、压力，速度，温度光滑曲线1.2 数值求解方法的基本组成关键词：数学模型、方程离散化方法、坐标、空间离散、网络、求解方法、收敛准则1.2.
4、1 数学模型1. 控制方程类型（提醒：主导方程、支配方程）基本偏微分方程的形式: （2D）提醒：微分形式和积分形式 （ 01 ）提醒：空间:x, y 时间空间：t,x; t,x,y对于求解域内的任一点(xo, yo) 双曲型方程: , 过该点有两条实的特征线如当ac0同号，稳态导热i. 椭圆型方程 相当于平衡问题或稳态问题。影响区域是椭圆的。与时间无关。空间的闭区域。又称为边值问题。例如：稳态导热问题。稳态扩散问题。闭区域（xo,yo）求解特征：所有点联立求解。用直接法或迭代法。提示：稳态、边值、相互影响 边界ii. 抛物型方程时间步进性问题或相当于时间的步进性问题。又称为初值问题。影响区域以
5、特征线为分界线，与主流方向垂直。例如：1D非稳态导热（时间步进）；2D稳态边界层型的流动和换热问题（扩散忽略，主流方向步进）求解特征：从已知的初值开始，逐步推进，依存获得适合定边界的解。求解代数方程的量可为一维的，可节约容量。（xo,yo）前一时刻 tt+Dt物理意义：分布与瞬时以前的情况和边界条件相关。（时间步进）t, x推进下游的分布仅与上游的变化相关（主流步进）xiii. 双曲型方程（xo,yo）也是步进问题。但依赖区域仅在两条特征区域之间。t, x例如：无粘性流体的非稳态问题；无粘性流体的稳态超音速流动。2. 流动类型偏微分方程组或积分方程组及边界条件。必须选择应用的目标： 不可压缩可
6、压缩 非粘性的粘性 湍流层流 2维或3维 单相多相 。由此可以选择不同的简化守恒方程。1.2.2 控制方程的离散化方法(discretization method)i. 有限差分法(finite difference method FDM) 微分方程使用网络节点，选择微分的近似方法。 将区域离散成有限个网格，通常为结构化网格； 选择方程各项的差分形式（Taylor展开）； 对每个节点建立差分方程； 整理出关于节点上未知数的非线性代数方程式。提示：网格、微分方程、差分形式、差分方程、代数方程 ii. 有限体积法(finite volume method FVM) 积分方程使用控制体积，选择表面和
7、体积积分的近似方法。 将区域离散成有限个控制体积，适用任何形状的网格； 选择未知函数对时间和空间的局部分布曲线（线性或曲线分布）； 对每个CV进行空间（表面、体积）和时间的积分； 整理出关于节点上未知数的代数方程式。特点：适用任何形状的网格，可用复杂几何形状与坐标类型无关提示：网格、积分方程、分布曲线、表面和体积分、代数方程 iii. 有限单元法(finite element method FE)选择函数和权重函数。 将区域离散成有限个体积或单元（element），2D时通常为三角型或多边型； 选择每个单元解的近似函数形式（例如：线性形状函数），与单元角上的值相关；积分权重 选择积分方程的权重
8、函数； 对每个节点值的积分残差为零，求出离散方程； 整理出关于节点上未知数的非线性代数方程式（刚度矩阵）。特点：有限单元法通常适用于不规则的求解区域。提示：网格、积分方程、分布函数、权重函数、积分残差为零、刚度矩阵 iv. 频谱法（spectral schemes）v. 边界元法(boundary element methods)vi. 分区自动化(cellular automata)不同的方法影响精度，求解问题的难度，编程和调试的难度，计算的速度。精度越高，涉及的网点就越多，系数矩阵就越大，需要的内存就越高，由此不得不使用粗网格，结果反而影响精度。目前一般二阶精度为最佳选择。1.2.3 坐标
9、和基本矢量系统 Cartesian coordinate system 直角坐标系统 Cylindrical coordinate system 柱坐标系统 Spherical coordinate system 球坐标系统 Curvilinear orthogonal coordinate system 曲线正交坐标系统 Non-orthogonal coordinate system 非正交坐标系统 移动的或静止的选择的方法依赖与目标流动。可能会影响离散方法和网格类型的选择。也可以根据矢量或张量表达的需要，选择坐标系。1.2.4 空间区域的离散化i. 计算区域(domain)ii. 网格(
10、grid)iii. 网格线(grid line)iv. 格子（cell）v. 节点(grid pointer，node, center node) 计算节点（computational node, FDM） 节点（FVM）vi. 控制容积(control volume，CV)vii. 界面(face)1.2.5 数值网格（numerical grid）i. 结构化网格(structured grid)或称规则网格(regular grid) 网格线：自己不交，以其它线只交一次。 节点可用一组坐标下标唯一表示， 例（i,j,k） 相邻节点坐标用 1 表示 优点：使用广泛缺点：只适合几何简单的计算
11、区域ii. 块结构化网格(block-structured grid) 在同一个计算区域上有两种或以上不同标准的网格划分。通常使用的有粗网格、精细网格的 粗区域可以是不规则，可以重叠 细网格为结构化网格细网格：123456789101112131415粗区域： I II III IViii. 非结构化网格(unstructured grid) 主要用于有限体积法和有限单元法内 格子(控制体积或单元)形状任意 相邻节点数无限制常用格式形状有：2D：三角形、多边型；3D：蜂窝等，通常格子的生成有专门的格子生成方式(grid generation)1.2.6 离散方程的求解方法离散化产生一个大的非线
12、性代数方程系统。求解方法取决于问题本身。 非稳态流动问题：使用求解初值问题的方法（marching in time时间步进）,在每一个时间点上，求解一个椭圆问题。 稳态流动问题：- 准时间步进（pseudo-time marching）法- 等效迭代方法由于方程是非线性的，通常需要迭代。这些方法对方程使用逐次线性化，产生的线性系统几乎都是采用迭代技术来求解。提示：非线性方程系统、求解方法、问题本身、非稳态、稳态1.2.7 收敛准则- 内迭代：求解线性方程- 外迭代：处理非线性项，和使方程耦合。何时停止某个迭代从精度和效率来说都是非常重要的。1.2.8 数值求解方法的特性提示：有解、解有界、计算
13、收敛1. 相容性（consistency） 当网格跨度趋近于零时，离散差分方程接近微分方程。截断误差逐渐为零。2. 稳定性（stability） 不稳定: instability, 任何误差不会放大。- 暂态问题：只要真正解有解，数值解也有界。- 迭代方法：计算不发散稳定性很难判断，最常用的方法为 von Neumann方法。但是，在求解复杂的非线性的耦合方程的，并具有复杂边界条件的方法往往是很难得到稳定的结果，而需要经验和本能。许多求解方法需要限制时间步长，和采用低松弛。3. 收敛性（convergence）divergence ; 收敛性 相容性+稳定性当网格跨度趋近于零时，离散差分方程的
14、解接近微分方程的解。收敛与稳定同样很难判断，往往采用数值实验：逐步精化网格，如方法是稳定而且收敛的，则结果将收敛到一个与网格大小无关的解。4. 守恒性（conservation）non-conservation由于求解的方程都是守恒方程，数值结果也应是守恒的。这不仅要保证局部的守恒，也要保证总体的守恒。使用有限体积法或基于严格的守恒形式进行的离散，则可保证每个控制体的守恒。其它离散方法则要充分注意守恒问题。守恒问题在求解方法中是非常重要的特性。非守恒方法会导致人工源（阱）的产生。但非守恒方法有时（如采用极小的网格）能保证相容性和稳定性，而产生正确的解。但一般因采用粗的网格，故建议使用守恒形式。5. 真实性（realizibility）对于特别复杂的情况，如湍流、燃烧、多相流动，要考虑能保证求得物理上现实的解。这不一定是数值的问题，可能是模型的问题，是否能真正的描述物理现象。模型的问题也可能导致非物理
