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1、立体几何大题题型一：基础题型3(2023课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值(1)证明如图所示，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在Rt EBG中，可得BE，故DF.在Rt FDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF，从而EG2FG2E
2、F2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.由于EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)解如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.4. 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ADC90，AD2BC2，CD，平面PAD底面ABCD，若M为AD的中点，E是棱PC上的点 (1)求证：平面EBM平面PAD；(2)若MEC90，求二面角PBME的余弦值解：(
3、1)证明：M是AD的中点，且AD2，MD1，又ADBC，BC1，四边形MBCD为平行四边形ADC90，DCMB，AMB90，即BMAD.平面PAD平面ABCD，BM平面ABCD，BM平面PAD.平面EBM平面PAD.(2)PAD是正三角形，M为AD中点，PMAD.又平面PAD平面ABCD，PM平面ABCD.如图，以M为原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Mxyz，则A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，)，C(1，0)，(1，)，E在PC上，设(01)，()(1，)0，.设平面MBE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即令x4，n(4，0，)又平面P
4、MB的一个法向量为n1(1，0，0)，cosn，n1.设平面PMB与平面EMB所成的角为，则cos .5如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面为中点（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由底面，又 平面 ；（2）做辅助线可得是直线与平面 所成的角，计算求得所成的角为；（3）作于点平面 线段的长就是点到平面的距离试题解析：（1）由底面底面是边长为1的正方形，又，平面 （2）设与交于点，连结，则是直线与平面 所成的角，直线与平面所成的角为（3）作于点平面 ，线段的长就是点到平面的距离，点到
5、平面的距离为考点：1、线面垂直；2、线面角；3、点到面的距离.【方法点晴】本题考线面垂直、线面角和点到面的距离，涉及数形结合思想，并考察空间想象能力和计算能力，具有一定的综合性，属于较难题型第一小题由底面，平面；第二小题做辅助线可得是直线与平面所成的角，计算求得所成的角为；第三小题作于点平面线段的长就是点到平面的距离，计算求得点到平面的距离为6如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB. （1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）。【解析】试题分析：（1）根据题中条件AC，AB2，BC1，所以，所以，又
6、由于已知，且，根据线面垂直鉴定定理可知，平面BCF，由于平面BCF，所以，又由于,所以可得；本问重点考察线面垂直鉴定定理。（2）根据第（1）问，又由正方形，且，所以平面ABCD，则线段CF为三棱锥F-BCD的高，中，AC，AB2，BC1，所以，所以根据等腰梯形可得：CBDC1，所以BCD的面积为S ，则可以求出三棱锥F-BCD的体积为 ，由图可知，而，其中d为点C到平面BDF的距离，又由于，所以，于是可以得到，计算就可以求出d的值，即得到点C到平面BDF的距离。本问重要考察点到面的距离，常用等体积法解题。试题解析：（1）证明：在ABC中，由于AC，AB2，BC1，则AB2AC2BC2，所以AC
7、BC， 又由于ACFB，且FBBCB，所以AC平面FBC.所以,又由于，所以 （2）解 由于AC平面FBC，所以ACFC.由于CDFC，且CDACC，所以FC平面ABCD. 则FC为四周体FBCD的高，在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1，所以BCD的面积为S 所以四周体FBCD的体积为VFBCDSFC 又由于，所以由，得点到平面的距离为 5.(2023湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四周体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.(1)证明：DE
8、平面PBC.试判断四周体EBCD是否为鳖臑若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四周体EBCD的体积为V2，求的值(1)证明由于PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又由于PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四周体EBCD的四个面都是直角三角形，即四周体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)解由已知得，PD是阳马PABCD的高，所以V1SABCDPDBCCDPD.由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2SBCEDEBCCEDE.在RtPDC中，由于PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4.
