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1、5.5 二次曲线的直径1二次曲线的直径我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点（两个不同的实点，两个重合的实点或一对共轭的虚点），这两点决定了二次曲线的一条弦现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹命题5.5.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线证 设X : Y是二次曲线的一个非渐近方向，即F (X，Y) 0，而 (x0，y0 ) 是平行于方向X : Y的弦的中点，那么过 ( x0，y0 ) 的弦为它与二次曲线F (x，y) = 0的两交点（即弦的两端点）由如下二次方程 F (X，Y) F ( x0, y0 )
2、= 0(2)的两根与所决定，因为 ( x0, y0 ) 为弦的中点，根据前面关于中心的有关讨论，必有 = 0从而有这说明平行于方向X : Y的弦的中点 ( x0，y0 ) 的坐标满足方程 (3)即也就是(5.51)反过来，如果点 ( x0，y0 ) 满足方程（5.51），那么方程（2）将有绝对值相等而符号相反的两个根，点 ( x0，y0 ) 就是具有方向XY的弦的中点，因此方程（5.51）为一族平行于某一非渐近方向XY的弦的中点轨迹的方程方程（5.51）的一次项系数不能全为零，这是因为当时，将有这与XY是非渐近方向的假设矛盾，所以（5.51）是一个二元一次方程，它是一条直线命题得证定义5.5.
3、1 二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径如前所述，斜率k = Y / X对应方向X : Y，故有推论 如果二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦的直径方程是(5.52)这里定义的二次曲线的直径是一条实直线而不是一条线段，因为平行于某个非渐近方向的平行弦不论是两实点的连线还是两虚点的“连线”，它们的中点都是实点，这些实点构成一条实直线而不仅仅是一条实线段认为直径是一条直线，这与以往所说的圆的直径是一条线段是有区别的在大多数情况下，把包括圆在内的所有二次曲线的直径都看成直线更便于进行理论讨论
4、由于二次曲线的非渐近方向X : Y一般有无穷多个，从方程（3）或（5.52）可以看出，如果F1 (x，y) = 0和F2 (x，y) = 0表示两条不同的直线，方程（5.51）表示的直线就构成一个平面直线束记此直线束为H，则H具有如下的性质：当时H为中心直线束，当时H为平行直线束；如果F1(x，y) = 0和F2(x，y) = 0表示同一直线，这时，那么（3）或（5.52）只表示一条直线如果F1(x，y) = 0和F2(x，y) = 0中有一个为矛盾方程，比如F1(x，y) = 0中a11= a12 = 0，这时成立且（3）或（5.52）仍表示一平行直线束；若F1 (x, y) = 0和F2
5、(x, y) = 0中有一个为恒等式，比如F1 (x, y) = 0中a11 = a12 = a13= 0，则成立，（3）或（5.52）只表示一条直线因此当，即二次曲线为中心曲线时，它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；当，即二次曲线为无心曲线时，它的全部直径属于一个平行直线束，它的方向为二次曲线的渐近方向XY =:=:；当，即二次曲线为线心曲线时，二次曲线只有一条直径，它的方程是 (或)即线心二次曲线的中心直线，因此我们有：命题5.5.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中心直线图5
6、.5.1给出了三种二次曲线的直径的情形，图中直径用粗线画出（a）中心曲线，直径是中心直线束（b）无心曲线，直径是平行直线束（c）线心曲线，直径是一条直线图5.5.1例1 求椭圆或双曲线的直径解 F (x，y)， F1(x，y)， F2(x，y)根据（3），共轭于非渐近方向XY的直径方程是显然，直径通过曲线的中心（0，0）例2 求抛物线2px的直径解F (x，y)2px 0F1(x，y)p，F2(x，y) y共轭于非渐近方向XY的直径为X p Y y0即y所以抛物线2px的直径平行于它的渐近方向10注 这里的XY是抛物线2px的任一非渐近方向抛物线2px的渐近方向是满足齐次方程= 0的解当Y =
7、 0时，X 0，因而解是1 : 0而直径y = pX / Y的方向恰是10，这也是x轴的方向例3 求二次曲线F (x，y)的共轭于非渐近方向XY的直径解 F1 (x，y)x y 1，F2 (x，y) x y 1 直径方程为X (x y 1) Y ( x y 1)0即(X Y )(x y 1)0因为已知曲线F (x，y)0的渐近方向为X Y 11，所以对于非渐近方向XY一定有X Y,因此曲线的共轭于非渐近方向XY的直径为x y 10它只有一条直径事实上，所给的曲线是线心二次曲线，所以只有一条直径2共轭方向与共轭直径二次曲线的与非渐近方向XY共轭的直径方程总可以写成（5.51）的形式，而（5.51
8、）的方向是XY (5.53)我们称这个方向为非渐近方向XY的共轭方向根据（5.53），存在非零实数t，使得X t，Yt因此有因XY为非渐近方向，F (X, Y ) 0，而由所设t 0，因此当I2 0，即二次曲线为中心二次曲线时，F (X , Y ) 0；当I20，即二次曲线为非中心二次曲线时，F (X, Y )0因此有命题5.5.3 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是渐近方向由（5.53）得二次曲线的非渐近方向XY与它的共轭方向XY 之间的关系是(5.54)从（5.54）式看出，两个方向XY与XY 是对称的，因此对中心曲线来说，非渐近方
9、向XY的共轭方向为非渐近方向X : Y，而: Y 的共轭方向就是XY任意给定一个非渐近方向XY，作一组平行于这个方向的平行弦，它们的中点就确定一条共轭于非渐近方向XY的直径l，设其方向为X : Y若X : Y也是非渐近方向，则同样由X : Y 也确定一条直径l，l的方向必然是XY定义5.5.2 中心二次曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径设，代入（5.54），得(5.55)这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式例如椭圆的一对共轭直径的斜率k与k 有关系即(4)而双曲线的一对共轭直径的斜率k与k 有关系(5)在（5.54）中，如果设XYXY那么有显然此时XY为二次曲线的渐近方向因此如果
10、对二次曲线的共轭方向从（5.54）作代数的推广，那么渐近方向可以看成自共轭方向，从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径从（14）看出，椭圆的任何一对共轭直径的斜率k与k 都具有相反的符号（假定k与k 皆不为零），所以这一对共轭直径不能在同一象限里（图5.5.2）并且当k 0而k值增大时，k 0而k值增大时，k 0而绝对值跟着减小这表示当双曲线的一条直径绕中心逆时针方向旋转时，它的共轭直径绕着中心顺时针方向旋转此外，如果一条直径的斜率趋近于（或 ），其共轭直径的斜率也趋近于（或 因此，双曲线的渐近线是它的一对共轭直径的极限位置这就更详尽地说明了可以把双曲线的渐近线看成它的直径，即两条重合的自共轭直径图5.5.2图5.5.3由于例子中的讨论是在标准坐标系中进行的，若k与k 中有一个为零，则另一个必为无穷大，实际上此时一对共轭直径是中心二次曲线的对称轴，也就是坐标轴若根据极限的观点考虑，对于椭圆，可以认为时k ，对应于图5.5.2中的直径l 趋于x轴而共轭直径l趋于y轴，即两条不在同一象限的共轭直径向同一象限趋近，极限为同一象限的边界；对于双曲线，可以认为时k ，对应于图5.5.3中的直径l趋于x轴而共轭直径l 趋于y轴，两条在同一象限的共轭直径向不同的象限趋近，极限为不同象限的边界83
