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1、GM(1,1)及其改进模型1 引言灰色系统分析是我国学者邓聚龙教授于20世纪80年代前期提出的用于控制和预测的新理论、新技术1。由于它在建模、预测、控制等方面的独到之处，已在各个方面得到了广泛应用。郝永红、邵珠艳、李如雪分别利用灰色模型分析了中国、山东济宁和山东聊城的人口状况68。一个地区的总人口与很多因素有关，不是用几个指标所能表达清楚的。而且，这些因素之间的结构关系难以准确描述，其中有些因素甚至是不明确的。灰色系统理论把这样受众多因素影响，而又无法确定其复杂关系的量，称为灰色量1。对灰色量进行预测，不必考虑数据不准，关系不清、变化不明的因素和变量，而是从自身的时间序列出发，发现和认识内在规
2、律，并进行预测。2. 常规的GM（1，1）模型 灰色单数列预测，与数理统计学中的时间序列预测，有本质的不同。时间序列预测是利用时间序列的几何特征和统计规律进行预测。是一种历史的和静态的研究。而灰色数列预测是一种现实的和动态的分析与预测。这是由于灰色动态模型不是利用时间序数据直接建模，而是将序列数据作一次累加生成后，再建立微分方程。下面通过对灰色动态模型GM(1，1)1 进行分析与讨论，来说明这个特征。时间序列有n个观察值，通过累加生成新序列， （2.1）GM（1，1）是一个包含单变量的一阶微分方程构成的动态模型： （2.2）其中是的紧邻均值生成序列，即 ， （2.3） 式（2.2）的白化方程为
3、： 其中：称为发展系数；称为内生控制灰数。的有效区间是，应用最小二乘法求解可得： 其中：，将代入微分方程式，解出时间函数为： （2.4）3. 等维灰数递补动态预测模型 通常，GM(1，1)模型通过对数列维数的不同取舍，可得到一系列预测结果，而组成一个预测灰区间供决策选用。但如果GM(1，1)模型预测所得灰区间过大，那么就很难得到较为满意的结果。这是因为GM(1，1)模型预测灰平面成喇叭型展开，预测时刻越远预测的灰区间越大。因此，用已知序列建GM(1，1)模型进行预测时，建议不用这个模型一直预测下去，而是只预测一个值，然后将这个灰数补充在已知数列之后，同时为不增加序列长度，去掉第一个已知数据，以
4、保持数据列的等维，提高模型精度。即将时间序列的值，替换为再建立GM(1，1)模型，这样新陈代谢4，逐个预测依次递补,不断补充新的信息,使灰度逐步减低，直到完成预测目的或达到一定的精度要求为止。这种方法称为“等维灰数递补动态预测”24。 这种改进的模型及时补充和利用了新的信息，提高了灰区间的白化度。显然，用改进后的新模型去预测下一值，比原模型进行预测要更合理，且更接近实际。 当然，动态模型每预测一步模型参数做一次修正，因而预测值都产生在动态之中。随着递补次数的增加灰度也在增大，信息量会越来越少，因此，递补预测也不应是无止境的。4. 基于灰色理论与BP算法的人口预测模型 4.1 BP神经网络的引入
5、人工神经网络(Artificial Neural Networks，简称为ANN)是近年来发展起来的模拟人脑生物过程的人工智能技术。它由大量简单的神经元广泛互连形成的复杂的非线性系统，它不需要任何先验公式，就能从已有数据中自动地归纳规则，获得这些数据的内在规律，具有很强的非线性映射能力，特别适合于因果关系复杂的非确定性推理、判断、识别和分类等问题。对于任意一组随机的、正态的数据，都可以利用人工神经网络算法进行统计分析，做出拟合和预测。基于误差反向传播(Back propagation)算法的多层前馈网络(Multiplelayer feedforward network，简记为BP网络)，是目
6、前应用最成功和广泛的人工神经网络9。下面我们就基于BP人工神经理论来建模。 4.2 神经网络的拓扑结构和理论建模神经网络的拓扑结构是指神经元之间的互连结构。图1是一个三层的BP网络结构。BP网络由输入层、输出层以及一个或多个隐层节点互连而成的一种多层网，这种结构使多层前馈网络可在输入和输出间建立合适的线性或非线性关系，又不致使网络输出限制在-1和1之间。图 1 一个三层BP网络结构BP算法通过“训练”这一事件来得到这种输入、输出间合适的线性或非线性关系。“训练”的过程可以分为向前传输和向后传输两个阶段1011：向前传输阶段：从样本集中取一个样本，将输入网络；计算出误差测度和实际输出；对权重值各
7、做一次调整，重复这个循环，直到。向后传播阶段误差传播阶段： 计算实际输出与理想输出的差；用输出层的误差调整输出层权矩阵；用此误差估计输出层的直接前导层的误差，再用输出层前导层误差估计更前一层的误差。如此获得所有其他各层的误差估计；并用这些估计实现对权矩阵的修改。形成将输出端表现出的误差沿着与输出信号相反的方向逐级向输出端传递的过程。网络关于整个样本集的误差测度： 4.3 灰色神经网络组合预测模型灰色算法与神经网络有多种组合方式，本文采用的方法是在对原始序列建立GM(1，1)模型后，得到一系列预测值，这些预测值与原始值之间一定存在偏差，因此这些预测值与实际值之间的偏差关系，再综合到神经网络模型中
8、考虑，将预测值作为神经网络的输入样本，以实际值作为输出样本，然后再对网络进行训练，就可以得到相应结点的权值，阀值，进而将GM(1，1)模型对下一个或多个预测值作为神经网络输入，得到的输出即为最终预测值。 下面使用该种组合模型对我国人口指标（以人口数为例）进行预测12。 具体步骤如下：1选取19941998年全国总人口数作为原始数据，得到5个的数据序列。2取相应的GM(1，1)预测值得到另外5个的数据序列。3将预测值作为神经网络的输入样本，实际值作为神经网络输出样本对网络的初始权值、阀值及网络结构进行设定。4对网络进行训练，得到每个节点的权值与阀值。5将1999年以后年份的GM(1，1)预测值作
9、为网络的输入，仿真后得到相应的输出，即为1999年以后全国总人口数的最终预测结果。5. 模型的计算 5.1 GM（1，1）模型的求解本文选取我国19942005年间原始数据进行分析，其原始数据序列如表5.1.1所示：表5.1.1 1994-2005年我国人口总数数据表年份（年）人数（万）年份（年）人数（万）年份（年）人数（万）199411985019981247612002128453199512112119991257862003129227199612238920001267432004129988199712362620011276272005130756 为了筛选适当维数的预测模型，考
10、虑到灰色建模数据一般都不少于5维，通常情况下，长序列预测的误差大于短序列，并且预测的时间越远，误差越大，而预测时间越近，误差就越小。据许多文献可知14，5维或者6维灰色预测模型的精度较高。模型拟和值与实际值最为接近。在考虑到中长期预测的实际情况下，故而选用5维模型为最优预测模型。现取19941998年全国总人口数分别为11.9850亿，12.1121亿，12.2389亿，12.3626亿，12.4810亿。依据GM（1，1）模型，可以预测模型为：还原值： 用此模型预测1999-2016年的全国总人口数，利用matlab编程求解,得到其结果见表6.2 ，且模拟精度比较如表6.3所示。表5.1.2
11、 1999-2016年全国总人口数预测值年份（年）人数（亿）年份（年）人数（亿）年份（年）人数（亿）199912.6092200513.3891201114.2173200012.7259200613.5237201214.3602200112.8640200713.6597201314.5046200212.9933200813.7970201414.6504200313.1239200913.9357201514.7977200413.2559201014.0758201614.8460 5.2 等维灰数递补动态预测模型求解 利用matlab求解模型可得出1999-2025年的人口数预测值
12、见下表：表5.2.1 1999-2025年的人口数预测值年份（年）人口总数（亿）年份（年）人口总数（亿）年份（年）人口总数（亿）199912.6092200813.7959201715.0941200012.7358200913.9344201815.2457200112.8638201014.0744201915.3988200212.993201114.2157202015.5535200313.1235201214.3585202115.7097200413.2553201314.5027202215.8674200513.3884201414.6484202316.0268200613
13、.5229201514.7955202416.1877200713.6587201614.9441202516.3503 5.3 基于灰色理论与BP算法的人口预测模型求解 将5.1.1中灰色模型得到的数据代入神经网络模型中，利用matlab工具箱求解可得以下预测值：表5.3.1 2001-2030年的总人口数预测值年份（年）人口数（亿）年份（年）人口数（亿）年份（年）人口数（亿）200112.76201113.7202114.42200212.83201213.79202214.46200312.91201313.89202314.49200413201413.98202414.52200513.09201514.06202514.54200613.18201614.14202614.56200713.29201714.21202714.57200813.39201814.27202814.59200913.49201914.32202914.6201013.6202014.37203014.66. 模型的检验6.1模型检测指标 为了客观评价该预测模型，从以下几个检验指标来进行检验：(1) 残差检验计算原始序列与预测序列的绝对误差及相对误差 （6.1.1） （6.1.2）(2) 关联度
