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1、二次函数最优化问题例析二次函数与前面大家所学的一次函数、反比例函数一样，是又一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，教科书中给出的求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用为帮助同学们进一步学习、领会与二次函数有关的最优化问题的求解策略，下面给出两例与之有关的试题，供大家参考例1（2004年，湖南省长沙市开福实验区中考试题）如图，要在底边BC=160cm，高AD=120 cm的ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点E、F在BC上，AD交HG于点M，此时AM/AD=HG/BC(1) 设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，
2、确定y与x的函数关系；(2) 当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？(3) 以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样为时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由（注：为铁桶侧面时，接缝无重叠，地面另用材料配备）解析：这是一道取材于工业废料的优化利用问题（1）因为AM/AD=HG/BC，所以，即y=（2）因为S=xy，所以S=所以当x=60cm时，S最大=4800cm2（3）围圆柱形铁桶有两种情况（略）例2、（2004年，重庆市北涪实验区中考试题）我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=-万元为了响应我国
3、西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外的销售的产品，每投资x万元，可获利Q=万元（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法解析：这是一例取材于西部大开发的经济最优化问题（1）若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P=-知，只需从50万
4、元中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1=102=100万元（2）若对该产品开发，在前5年中，当x=25万元时，每年的最大利润为P=-=95万元，则前5年的最大利润为M2=955=475万元；设后5年中x万元是用于本地销售的投资，则由Q=知，将余下的（50-x）万元全部用于外地销售的投资，才可能获得最大利润则后5年的利润是M3=-5+()5=-5(x-20)2+3500故当x=20时，M3最大值为3500万元所以10年的最大利润为M=M2+M3=3500+47.5=3547.5万元（3）答案是开放的，只要有意义，符合题意就可以，例如：因为3547.5100，所以该项目有极大的开发价值评注：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式；然后再配方，由题意根据平方的非负性求最值；进一步得原问题的解有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值
