《广义似然比检验原理及其应用论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广义似然比检验原理及其应用论文（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、*大学数学与信息科学学院学士学位论文广义似然比检验原理及其应用Generalized likelihood ratio testprinciple and its application姓名：*学号：*学院：数学与信息科学学院专业：统计学指导老师：* （教 授）完成时间：*年*月 * 日广义似然比检验原理及其应用*【摘要】 广义似然比检验法是 Neyman 和 Pearson 在 1928 年提出的，它在假设 检验中的地位相当于极大似然估计在点估计中的地位。这是一个应用很广的方 法，而且，它构造出的检验常具有种种最优性质。本文首先叙述了假设检验的一 些基本概念和思想，然后详细的阐述了广义似然比
2、检验的原理，分别对单个正态 总体、两个正态总体、二项分布、指数分布等做了具体的推导过程，最后简单叙 述了似然比检验的极限分布及广义似然比检验法的相合性。【关键词】广义似然比检验 正态总体 二项分布General likelihood ratio test principle and its applicationvL*abstract 】彳、彳、彳、彳、彳、General likelihood ratio test was proposed by Neyman and Pearsonin 1928，who se position in the hypothesis test is equiva
3、lent to maximum likelihood estimate in the point estimation.This is a widely used method and it is the test constructed that ften has the optimal properties.This paper firstly describes some basic concepts and ideas of the hypothesistest,then describe the generalized likelihood ratio test principle
4、in detail, making detailed derivation of a singlenormal overall, two normal overall, binomial distribution,exponential distribution etc respectively, finally simply narrate the likelihood ratio test limit distribution and the consistency of general likelihood ratio testNormal overall Binomialkeyword
5、s 】General likelihood ratio test distribution目录引言11 定义、原理12 NeymanPearson 原理33 广义似然比检验法在一些分布中的应用53.1广义似然比检验法在单个正态总体的应用53.1.1单个正态总体均值53.1.2单个正态总体方差93.2广义似然比检验法在两个正态总体的应用123.2.1两个正态总体方差123.2.2两个正态总体均值163.3广义似然比检验法在二项分布的应用213.4广义似然比检验法在指数分布的应用223.5 Stein例子244 似然比检验的极限分布概略255 简述关于广义似然比检验的相合性266 关于广义似然比检
6、验法的几点看法277 总结28参考文献29引言广义似然比检验法是Neyman和Pearson在1928年提出的，他在假设检验 中的地位，相当于极大似然估计在点估计中的地位。这是一个应用很广的方法， 而且，它构造出的检验常具有种种最优性质。Jerzy Neyman (18941981)及 Egon sharpe Pearson (1895 一 1980)在 一系列的杰出的文章中澄清了推断理论，特别是有关显著性检验的基本原理一其 合理性以往是常被批评。早期的显著性检验为关于二项变量之间或均值之间的， 它们被K.Pearson推广至x2检验，被R.A.Fisher推广到F-检验，推广了 Studen
7、t T-检验。Neyman和E.S.Fearson看出，为了更有效，应该考虑与待检 验的零假设相对应的备选假设。他们在这样的检验中设立两种误差并因素导致了 他们的基本引理，似然比检验，及势的概念；他们顺便验证了大多数常见的显著 性检验的应用；他们还引进了置信限；但是他们的体系从未被Fisher所承认。本文通过首先叙述了假设检验的一些基本概念和思想后，详细的阐述了广义似 然比检验的原理上，分别对单个正态总体、两个正态总体、二项分布、指数分布 等做了具体的推导过程，最后简单叙述了似然比检验的极限分布及广义似然比检 验法的相合性。1 定义、原理假设检验的基本概念及思想。原假设、备择假设令(X,A,P
8、)是一个统计空间，其中，P =(pj.0 e0), 0是参数空间。令0是 900 的一个真子集，我们关心参数 0 是否属于 0 。假设检验的基本思路是，先作 0一个假设H :0 G0(1.1)00然后通过样本构造统计量，借助统计量来判断这个假设是否正确。通常称(1.1) 是零假设或原假设，把H :0 e0-0叫做对立假设(或叫备择假设)，称用来判 a0断假设是否正确的统计量为检验统计量。检验法：给出一个规则，通过已知的样本值x,x进行明确的表态，是接受假设H1n0还是拒绝 H 。0否定域：设S是所有可能的样本值(x,x ) (n固定)组成的集合(样本空间)，空1n间S的一个划分：S二S u S
9、 ( S与S不相交)。当(x,x )e S时接受H，当12121n10(x,x )e S时拒绝H，这S叫接受域，S叫否定域。1n2012因为，故只要知道了否定域，就知道了检验法。每一个检验法对应一个否定域； 反之，任给定S的一个子集W,则有一个检验法以W作为它的否定域。故研究检 验法就相当于研究否定域。关于两类错误零假设H在客观上只有两种可能性：真、假。样本值(x,x )也只有两种 01n可能性:属于否定域W、不属于W。若采用W作否定域，则在观察到样本值(x ,x )1n时只可能有下列四种情况：(1) H 真，而属于 W；0（2）H 真，而不属于 W；0（3）H 假，而属于 W；0（4）H 假
10、，而不属于 W。0根据规则，在情形（1）应拒绝H，在情形（2）应接受H，在情形（3）应拒00绝H，在情形（4）应接受H，在情形（2）、（3）对H的表态与客观事实相符。0 0 0但（1）、（4）两种情形下，表态犯了错误：与客观事实不相符。第一类错误：情形（1）中，在原假设为真的情形下，样本值落入否定域。 这个事件发生的概率为犯第一类错误的概率，记为：p（0）=P（拒绝 H p ）wo 1=P（X，X ）g W p ）（ e e ）1n0这里用P（Ae ）表示X的分布的参数的真值e是时事件A发生的概率（或用记号 p （a）表示）。这里p （e）叫做w的功效函数。eW第二类错误：情形（4）中，在原假
11、设为假的情形下，样本值落入接受域。 这个事件发生的概率为犯第二类错误的概率。在检验中，我们自然希望找到犯两类错误的概率都很小，这是在做假设检验中一 直围绕的中心。检验水平 a： 在原假设下为真的情形下，样本值落入否定域，这事件发生的最大概率，记为：sup p （e）检验问题的表示设总体分布函数f （x,e），其中e e，这里为参数空间，记假设检验问题H :e e H :e e0 0 a 1这里H是待检验假设，H是备择假设，与不相交，在很多情形下， =-。 0 a 0 1 1 0定义：一致最大功效否定域：若W的水平为a而且对而且对一切水平不超过a的否定域W均有p （e）、p（e）（切oe ）Ww
12、1则称W是检验水平为a的一致最大功效否定域。无偏否定域：若对一 o e 切，有1p （0）aW则称W是检验水平为a的无偏否定域。一致最大功效无偏否定域：若W是水平为a的无偏否定域，而且对任何水平为a的无偏否定域W恒有p（0）p（0）（切0 e ）Ww1则称W是检验水平为a的一致最大功效无偏否定域。 下面在正态总体中推导出来的都是一致最大功效无偏否定域。基本原理及思想：通常认为在概率很小的随机事件中一次试验中几乎是不可能发生的（即小概率原理），也就是说通过概率大小来判断0和0的差异。一般情况下，样本值越多0则检验得出的结论信赖度越大，这与大数定理是一致的。2 NeymanPearson 原理广义
13、似然比检验法是 Neyman 和 Pearson 在 1928 年提出的，它在假设检验 中的地位相当于极大似然估计在点估计中的地位。这是一个应用很广的方法，而 且，它构造出的检验常具有种种最优性质。当样本量 n 较大时，广义似然比检 验否定域往往相当好（即第二类错误的概率比较小），虽然不一定是一致的最大功效的。多数情况下可以证明limpw（0）= 1 （对一切0 e ），这里0 e是备 0 1 1 n择假设，设pw （0）是参数真值是时检验法拒绝零假设的概率。0的分布密度是 f （x, 0 ）, 0)eu Rm对离散型分布可进行类似的讨论）。设 是 的非空真子集，研究检验问题：0H :0 e
14、H :0 e-00 a0定义：称为样本值X = ( XX1nL C )= sup L (x, 0 ) 00eO L(6 sup L (x, 0)0G0L(6 )山X)击0)的广义似然比。(2.1)X1n设x = （xx ）是样本X =（xX ）的值。似然函数Lf （x e）,显然九（X）n 1，直观上看，若h 是真的，贝胎的最大似然估计应该很大可0能属于6，从而九（X）应该接近于1；反之，若九（x）的值太大就应该否定H这0 0样应取否定域W = lx:九(x)九1 X(x) 0T0 nTa 九(x)t 1 000(2. 2)其中九满足sup PC gW0 0)= a(2.3)f 0这里a是预先给定的检验水平（0 a1 ）。从上面的讨论可得到如下结果： 1 X （x ）, 当0距0八较远时九（X）较大，0距0八较近时九（X）较小，0 0 当H :0 g H :0 g -6为真，则但n Ts时，九（x）t 1。00a0这样的检验法叫做广义似然比检验法，简称似然比检验法。这个方法在许 多情形下常可导出有实用价值的具体否定域。在使用广义似然比检验法时，关键 在于能否找出九满足（2. 3）。0我们指出，广义似然比九是充分统计量函数，从而否定域（2.2）常常是由 充分统计量来确定，实际上，若
