《大学导数的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学导数的应用.docx（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章导数的应用 73第3章 微分中值定理与导数的应用3.1.1 罗尔定理定理3.1 如果函数满足：(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 那么，在内至少存在一点，使得这就是罗尔()定理图这个定理的几何解释如图所示，如果连续曲线在开区间内的每一点处都存在不垂直于轴的切线，并且两个端点、处的纵坐标相等，即连结两端点的直线平行于轴，则在此曲线上至少存在一点，使得曲线在点处的切线与轴平行3.1.2 拉格朗日中值定理定理3.2 如果函数满足：(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导那么，在内，至少存在一点，使得 （3-1）也可以写成这就是拉格朗日()中值定理在此定理中，如果区间的
2、两个端点处的函数值相等，就变成了罗尔定理也就是说，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况拉格朗日定理的几何解释如图3-2所示，若是闭区间上的连续曲线弧段，连接点和点的弦的斜率为，而弧段上某点的斜率为定理3.2的结论表明：在曲线弧段上至少存在一点，使得曲线在点处的切线与曲线的两个端点连线平行图3-2拉格朗日定理有两个推论：推论1 如果在区间内，函数的导数恒等于零，那么在区间内，函数是一个常数证明 在区间内任取两点，在上，用拉格朗日中值定理，有 由于函数的导数恒等于零，所以这说明在区间内，函数的在任何两点处的函数值都相等故在区间内，函数是一个常数推论2 如果在区间内，则在区间内，与只相差一个常数，即 (
3、为一常数)证 令，则，由推论1知，为一常数，于是有 (为常数)*3.1.3 柯西中值定理定理3.3 设函数与函数满足：(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 在区间内那么，在内，至少存在一点，使得 （3-2）这就是柯西()中值定理在此定理中，若，则其就变成了拉格朗日定理，说明拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况3.2 洛必达法则重点：洛必达法则的应用。难点：洛必达法则的应用。中值定理的一个重要应用是计算函数的极限.在第一章求极限时，我们经常遇到形如当(或)时，函数的分子、分母都趋近于零或都趋近于无穷大的情况.对于这种函数是不能直接利用商的极限运算法则去求其极限的极限可能存在，也可能
4、不存在通常把这种极限叫做未定式，分别简记为“”或“”型下面介绍求这类极限的一种简便且重要的方法 洛必达()法则对于“”型的极限，有下面的法则：法则1 如果函数与函数满足：(1) ；(2) 函数与在点的邻域内均可导，且；(3) 存在(或为无穷大)那么对于“”型的极限，有下面法则：法则2 如果函数与函数满足：(1) ；(2) 函数与在点的邻域内均可导，且；(3) 存在(或为无穷大)那么使用洛必达法则必须注意以下两点：（1）洛必达法则只适用于未定式，其他未定式须先化成这两种类型之一，然后再用该法则；（2）洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的，因此，该法则失效但极限仍有可能存在.有些极限虽然是未定式
5、，但使用洛必达法则无法计算出其极限值，这时应考虑用其它方法例如求，两次使用洛必达法则后，又还原成原来的形式，因而洛必达法则对它失效，事实上3.3 函数的单调性与极值3.3.1 函数的单调性函数的单调性是函数的一个重要性态，它反映了函数在某个区间随自变量的增大而增大（或减少）的一个特征.但是，利用单调性的定义来讨论函数的单调性往往是比较困难的.本节利用导数符号来研究函数的单调性由图3-3可以看出，当函数在上是单调增加时，其曲线上任一点的切线的倾斜角都是锐角，因此它们的斜率都是正的，由导数的几何意义知道，此时，曲线上任一点的导数都是正值，即0由图3-4可以看出，当函数在上是单调减少时，其曲线上每一
6、点的切线的倾斜角都是钝角，因此它们的斜率都是负的，此时，曲线上任一点的导数都是负值，即0 图3-3 图3-4定理3.4 设函数在内可导，则(1) 如果在内，那么函数在内单调增加；(2) 如果在内，那么函数在内单调减少注 在区间内个别点处导数等于零，不影响函数的单调性如幂函数，其导数在原点处为，但它在其定义域内是单调增加的3.3.2 函数的极值极值的概念如图3-5所示，函数在点的函数值比它左右近旁的函数值都大，而在点的函数值比它左右近旁的函数值都小，对于这种特殊的点和它对应的函数值，我们给出如下定义：定义3.1 设函数在区间内有定义，是内的一个点(1) 如果对于点近旁的任一点，都有，那么称为函数
7、的一个极大值，点称为的一个极大值点(2) 如果对于点近旁的任一点，都有，那么称为函数的一个极小值，点称为的一个极小值点函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点图3-5如图3-5中的和是函数的极大值点，和是函数极大值；和是函数的极小值点，和是函数的极小值注意 (1) 极值只是一个局部概念，它仅是与极值点邻近的函数值比较而言较大或较小的，而不是在整个区间上的最大值或最小值函数的极值点一定出现在区间的内部，在区间的端点处不能取得极值；(2) 函数的极大值与极小值可能有很多个，极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小；(3) 函数的极值可能取在导数不存在的点函数
8、极值的判定从图3-5可以看出，曲线在点、取得极值处的切线都是水平的，即在极值点处函数的导数等于零对此，我们给出函数存在极值的必要条件：定理3.5 如果函数在点处可导且取得极值，那么使得函数的导数等于零的点(即方程的实根)，叫做函数的驻点定理3.5说明，可导函数的极值点必定是它的驻点，但是，函数的驻点不一定是它的极值点例如点是函数的驻点，但不是极值点所以定理3.5还不能解决所有求函数极值的问题但是，定理3.5提供了寻求可导函数极值点的范围，即从驻点中去寻找还要指出连续但不可导点也可能是其极值点，如，在处连续，但不可导，而是该函数的极小点判断驻点是否是极值点，我们有如下定理：定理3.6 设函数在点
9、的近旁可导，且(1) 如果当时，；当时，那么是极大值点，是函数的极大值；(2) 如果当时，；当时，那么是极小值点，是函数的极小值(3) 如果在点的左右两侧，同号，那么不是极值点，函数在点处没有极值图3-6分别显示了以上三种情形： (1) (2) (3)图3-6根据定理3.5和定理3.6，可得到求函数极值点和极值的步骤如下：(1) 求出函数的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 令，求出函数在定义域内的全部驻点；(4) 用所有驻点和导数不存在的点把定义域分成若干个部分区间，列表考察每个部分区间内的符号，确定极值点；(5) 求出各极值点处的函数值，即得函数的全部极值1闭区间上连续函数的最值设函数
10、在闭区间上连续，由闭区间上连续函数的性质知道，函数在闭区间上一定有最大值与最小值最大值与最小值可能取在区间内部，也可能取在区间的端点处，如果取在区间内部，那么，它们一定取在函数的驻点处或者导数不存在的点处函数的极值是局部概念，在一个区间内可能有很多个极值，但函数的最值是整体概念，在一个区间上只有一个最大值和一个最小值由以上分析知，求函数在闭区间上的最大值与最小值的步骤为：(1) 求出在区间内的所有驻点，导数不存在的点，并计算各点的函数值；(2) 求出端点处的函数值和；(3) 比较以上所有函数值，其中最大的就是函数在上的最大值，最小的就是函数在上的最小值3.4 函数图形的描绘3 4 1曲线的凹凸
11、与拐点研究函数的单调性与极值，对于了解函数的性态，描绘函数的图形起到了重要作用但是仅依赖于这些知识，还不能比较准确地描绘出函数的图形例如函数与在上的图形(图3-10)，其曲线都是单调上升的，但他们的弯曲方向却不同，这就是所谓的凹与凸的区别曲线上任一点的切线均位于曲线下方，形状是凹的，而曲线上任一点的切线均位于曲线上方，形状是凸的 图3-10一般地，从图3-11可以看出，在向下凸的曲线弧段上，任一点处的切线都在曲线的下方；在向上凸的曲线弧段上，任一点处的切线都在曲线的上方对于此，我们给出下面的定义：定义3.2 如果在某区间内，曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的下方，那么称此曲线弧段为凹曲线；曲线
12、弧段上任一点处的切线都在曲线的上方，那么称此曲线弧段为凸曲线从图3-11中还可以看出，当曲线弧段是凹的时候，其切线的斜率是逐渐增加的，即函数的导数是单调增加的；当曲线弧段是凸的时候，其切线的斜率是逐渐减少的，即函数的导数是单调减少的根据函数单调性的判定方法，有如下定理：图3-11定理3.7 设函数在区间内具有二阶导数(1) 如果当时，恒有，则曲线在区间内是凹的；(2) 如果当时，恒有，则曲线在区间内是凸的定义3.3 连续曲线上凸的曲线与凹的曲线的分界点叫做曲线的拐点3.4.2曲线的渐近线先看我们熟悉的函数，如：(1) 函数，当时，函数值无限趋近于零，那么曲线无限接近于直线；(2) 函数，当时，
13、函数值的绝对值无限增大，那么曲线无限接近于直线；（3）函数，当时，函数值无限接近于，那么曲线无限接近于直线；当时，函数值无限接近于，那么曲线无限接近于直线一般地，当曲线上的一动点沿着曲线移向无穷远时，如果点到某定直线的距离趋向于零，那么直线就称为曲线的一条渐近线.渐近线分为水平、垂直和斜渐近线，我们给出下面的定义：定义3.4 设曲线，(1) 如果（或，），则称直线为曲线的一条水平渐近线；(2) 如果（或，），则称直线为曲线的一条垂直渐近线3.2.3函数图形的描绘本章我们利用导数讨论了函数的各种性质，下面我们给出描绘函数的图形一般步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 考察函数的奇偶性，从而判断曲线的对称性(如果函数不具有奇偶性，这一步可省略)；(3) 判断函数的单调性，并求出极值；判断曲线的凹凸性，并求出拐点；(4) 确定曲线的渐近线；(5) 必要时，取一些辅助点；(6) 作出上述各点，把它们连成光滑的曲线，从而描绘出函数的图像
