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1、【名师面对面】20xx届数学一轮知识点讲座：考点54 坐标系与参数方程（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一考纲目标极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题二知识梳理1极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系 (如图)设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)称为点M的极坐标
2、，记作M(，)2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则或3直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin (0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.4圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)
3、当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos_；(3)当圆心位于M，半径为a：2asin_.5参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程6常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量(2)圆的参数方程(为参数)(3)圆锥曲线的参数方程椭圆1的参数方程为(为参数)双
4、曲线1的参数方程为(为参数)抛物线y22px的参数方程为(t为参数)三考点逐个突破1.极坐标和直角坐标的互化例1.设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为_解析:点A的极坐标为，点A的平面直角坐标为(，1)，又直线l过点A且与极轴所成的角为，直线l的方程为y1(x)tan ，即xy20，直线l的极坐标方程为cos sin 20，可整理为cos1或sin1或sin1.答案cos1或cos sin 20或sin1或sin1.2.圆的极坐标方程的应用例2在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A、B两点，则|AB|_.解析：注意到在极坐标系中
5、，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x1，曲线4cos 的直角坐标方程是x2y24x，即(x2)2y24，圆心(2,0)到直线x1的距离等于1，因此|AB|22.答案23.极坐标方程的综合应用例3如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹审题视点 在圆上任取一点P(0，0)，建立P点与P的中点M的关系即可解设M (，)是所求轨迹上任意一点连接OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2,0)为圆
6、心，2为半径的圆4.高考中极坐标问题的求解策略例4.在极坐标系中，点到圆2cos 的圆心的距离为A2 B. C. D.5.参数方程与普通方程的互化例5.把下列参数方程化为普通方程：(1)(2) (2)代入消元法消去t.解:(1)由已知由三角恒等式cos2 sin21, 可知(x3)2(y2)21，这就是它的普通方程(2)由已知t2x2，代入y5t中，得y5(2x2)，即xy50就是它的普通方程6.直线与圆的参数方程的应用例6.已知圆C：(为参数)和直线l：(其中t为参数，为直线l的倾斜角)(1)当时，求圆上的点到直线l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求的取值范围解：(1)当时，直
7、线l的直角坐标方程为xy30，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为1.(2)圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t22(cos sin )t30，这个关于t的一元二次方程有解，故4(cos sin )2120，则sin2，即sin或sin .又0，故只能sin，即，即.7.圆锥曲线的参数方程的应用例7.求经过点(1,1)，倾斜角为135的直线截椭圆y21所得的弦长解由条件可知直线的参数方程是(t为参数)，代入椭圆方程可得21，即t23t10.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与
8、系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1t2| .8.极坐标方程与参数方程的综合问题例8.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|. 解 ：(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(5分)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin ，射线与C2的交点B的极径为28sin .所以|AB|21|2.(10分)
