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1、有限长均匀带电直线电场的分析金彪 （浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353） 摘要：本文分析了有限长均匀带电直线周围的电场，用两种方法论述了有限长均匀带电 直线电场的电场线为双曲线而等势面为旋转椭球面，并由此计算出导体旋转椭球面电容及面 电荷密度分布。关键词：有限长均匀带电直线；旋转椭球面；双曲线；等势面；电场线；电势；电场强 度如图1所示线段AB为真空中均匀带正电直线，长为2c,线电荷密度为耳, eAB图1求其产生的电场中任一点D的电场强度E与电势U。DD1 用等效替代法求电场图2过D点作AB的垂线段DE,垂足为E,以 D为圆心，DE长为半径，作圆弧FEG,点F 在线段AD上，点G在
2、线段BD上,当圆弧FEG 的线电荷密度也为耳时，圆弧FEG与线段AB e在 D 点产生的电场强度相等。论证如下：过D点作任一微小角d9 ,在圆弧和线段上 分别截得HI、JK,过K作KN垂直于DJ,则有 三角形相似可得：L - LL = NK DJJK LDEL - LNK DJLDHL - L 2HI DJL2DH1）由点电荷电场求解公式可得：线电荷密度相等短线JK和HI在D点产生的电场强度相等，故线段AB 和圆弧FG在D点的电场也相等。由此可以得到线段AB在D的电场强度ED方向为沿ZADB的角平分线 DC反向延长线向外。若沿电场线方向移动一段微小距离dl到D/,如图3。可得L- L 二 dl
3、 sin ZADCAD /ADL L = dl sinZBDCBD /BD由于DC是ZADB的角平分线，可得L L 二 L L ,AD /ADBD /BDL L 二 L L 。AD /BD / AD BD即：当D点始终沿电场强度方向运动时，D点运动的轨迹为电场线，而D点到A、B两点的距离差保 持不变，即电场线为双曲线。若沿垂直电场线方向移动一段微小距离dl到D，如图4。可得L - L = d l - cos Z AD / DAD /ADL - L= dl - cosZBDD/BDBD /由于DC是ZADB的角平分线，且dl可忽略，可得L-LL-LAD/ADBDBD/L+ LL+ LAD/BD
4、/ADBD可得：当D点在ABD平面内始终沿垂直电场强度方向运动时，D点运动的轨迹为等势线，而D点到 A、B两点的距离和保持不变，即等势线为以A、B两点为焦点的椭圆，等势面是以A、B两点为焦点的旋 转椭球面。下面求 D 点场强及电势。以 AB 中点为原 点， AB 方向为 x 轴正方向建立直角坐标系，设 A、B、D三点坐标分别为C c,0）、C,0）、（x ,y），任一小段带电细线在D点产生场强D,yD为dE，与-y方向夹角为0，分解后的分量分别为dE、dE，再设线段BD和线段AD与x xy轴夹角分别为a和，如图5所示。由（1）式得:图5dEx-sin0 - d0yDdEy-cos0 - d0y
5、D-卩sin0 - d0yD、y y、:L丿D DB DAE = J 2x兀a2_ kq e kqe- cos（兀RR + cos 12丿1 ）一（X12丿2）ILDBLda 丿E 二 j I卩 ke cos0 d0y1 kq fsin下-Psina1e一l 2丿l2 丿y ID设合场强与x轴夹角为Y则x + c-DLDAK2Kay2DeyDx c-DLDBEtany 二yExC0Sp CSa= tan 0P2sina sinp即场强ED方向为沿ZADB的角平分线反向延长线。 现在求 D 点电势。=卜kqxDLda丿xDc)2 + y 2dxxD+ c)2 + y 2 丿dx/ln x+c+D
6、+ c)2D/ln x c + DcDc + x + ln d、(x c )+x c)2DD/ ln c + x +D2 用叠加法求电场+ y 2D+ y 2D丿In 匕-c)+伍设坐标为x的一小段直线dx在D点产生的电势为dU,则dU 二e,L2 + (x + c)2 2L xcosP(L sin:DADAI DAkq dxeinP)2 + (x + c L cosDAU =J+冷 h 一气灯nkq dx、 、inP)2 + (x + c - L cosP)2DAkq J+cd lnfx + c-L cosP +e c LI DA2c-L cosP + fsinDADADA-L cosP +
7、 .sin + cosDADADAc SinDAin )2 + (x + c 一 L cosDA= kq lneDA=kq ln e- (cc + x + iD L=kq ln e(x cD由此，当d点在等势面上移动时，=丫)x - C )+ 弋 x - c)其中a为可求常量。则有:C + x +D(X - c)+厂義D D+ y 2D+ y 2D+ cosP)L VL + cosa)DB-DAsina(L + cosP) sin + cosa)atan2 _ a + c + 卩 a - c tan25)+ c )2 + y2DD 保持不变，可设+ y 2D延长三角形ABD的AD、AB两边，作
8、半径为r的圆与边BD及AB、AD的延长线相切，切点分别为G、H、F,由圆与直线相切的性质可得：L 二 L - LAB AH BH可得：rrBatantan22图6B tan匚r1 -2Batan ttan 22丿(B t1 - tan 、2a - ca + c丿L + LAD BD=L + LAF BGrrB +atan tan22tantan2atan2tan卩1+a-ca + c丿即D到A、B两点的距离之和为常量，故所有电势相等的点的集合为旋转椭球面。由(4)式得，xy 平面内任意一点的电场强度为(设该点到A、B两点的距离分别为P、r)E =(QU . QU .)i +jl Qx Qy 丿
9、/d In c + x + c )2 + y 2丿dxc)2 + y 2 I 丿J iQ In c + x + J(X + c)2 + y 2 一 In x - c + J l丿 I丿sinac)2 + y 2一 kqe(11 (=kqi kqelrpjel(111(=kqi kqelrpjel(111(=kqi kqelrpjeelsinP rtl + cos DPt + cosacosJ sina 1 cos( p cos2 Pr - cos2a1 cosB) G cosa.sin)psinPrsina丿=He (sina sinP+ e (cosP cosa )j yy(111kq (i
10、 + -elrpjy IPx + c x c 此点为某条电场线上一点，设电场线函数为y = f6),则其导数为f )= d：EyEXcos P cos a sin a sin P则有：dpdjtx + c)2 + y 2dxdxTc)：y dxv vx + c)2 + y 2cosP cosacosP + smp -sina sinPsin(a P )sina sinPdrCx c)2 + y 2dxdx-c)+ y dxcosP cosa 二 cosa + sina sina sinPsin(aP )sina sinP即：dp二dr , p r二常量，故电场线为双曲线。3 关于孤立导体旋转椭
11、球面电容及面电荷密度的求解x 2 y 2 + z 2带电量为Q的导体旋转椭球面处于静电平衡状态椭球面的方程为-+七厂=1。由前所述对于中点在原点、长度为2c = 2-a2 -b2、电荷密度为1e在x轴上的有限长均匀带电直x2 y2 + z2 线，方程为忑+ bTU 二 ki ln a+c 二 e ackQ1kie-y Ikie-y I2 =他；2 2 上2 yr Pr P=kQ2c y2 2 -y 2 +=1的椭球面为其一个等势面，由（4）、（5）两式得电势为I、a + a 2 一 b 2 ln2、a2 一b2 a ：a2 一b2因此，该导体旋转椭球面的电容为：c Q q 1j 1 a + a2 b2C = =二 8耐 Va2 b2 ln,a Ja 2 b 2 丿本式与文献中（11）式一样。由于有限长均匀带电直线在某点（x、y、0）产生的电场强度为=kQ2c yx2y 2 + z2则总电量为Q，椭球面方程为-+=1的导体在（x、y、0）上面电荷密度为:Q4兀2cyQ4兀2cyQ4兀2cyQ4兀2cyQ4兀2cyS kQ02c - y
