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1、毕业论文矩阵指数函数的性质与计算PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION 指导教师姓名： 申请学位级别：学士 论文提交日期： 摘 要矩阵函数是矩阵理论的重要组成部分，而矩阵函数中的一个最重要的函数就是矩阵指数函数，它广泛地应用于自控理论和微分方程。本文深入浅出地介绍了矩阵指数函数，并进一步探讨如何借助矩阵指数函数分析相关问题。文章以齐次线性微分方程组求解基解矩阵为出发点引出矩阵指数函数的概念，证明求解矩阵指数函数就是求解齐次线性微分方程组的基解矩阵，然后得到矩阵指数函数的一些基本性质。本文的重点是讨论矩阵指数函数的五种计
2、算方法。其中，前三种方法广泛适用于各种矩阵，虽然计算过程复杂程度不同，但都需要计算矩阵特征值，如遇高阶矩阵或复特征值，则特征值的计算会变得异常麻烦。后两种方法较特殊，虽然缺乏普适性，只能计算特殊矩阵的指数函数，但却避过了特征值计算，简化了运算过程。最后，本文具体阐述矩阵指数函数在微分方程求解中的应用。关键词：矩阵指数函数； Jordon 标准形； 微分方程组IABSTRACTMatrix function is an important part of the matrix theory. And among the matrix function, there is a special an
3、d important function that is matrix exponential function. It has been widely used in automatic control theory and differential equations. This paper introduces profound theories on matrix exponential function in simple language, furthermore, it explores how to use matrix exponential function analysi
4、s related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous linear
5、differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is different, in
6、complexity, all of them need to compute the matrix eigenvalues. The calculation on high-order matrix or complex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operation proc
7、ess instead of calculating eigenvalues, but their shortcomings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application of matrix exponential function in different equations when solving the function in reality.Key words: Matrix exponential function; Jordon normal form; Dif
8、ferential equationsII目 录1 前言11.1 矩阵（Matrix）的发展与历史11.2 本文的主要内容22 预备知识33 矩阵指数函数的性质73.1 矩阵指数73.1.1 关于级数的收敛性73.1.2 矩阵指数的性质83.1.3 常系数线性微分方程基解矩阵103.2 矩阵指数函数的性质103.2.1 矩阵函数103.2.2 矩阵指数函数的性质114 矩阵指数函数的计算方法174.1 矩阵指数函数的一般计算方法174.1.1 HamiltonCayley求解法174.1.2 微分方程系数求解法214.1.3 Jordon块求解法234.2 矩阵指数函数的特殊计算方法264.2
9、.1 矩阵指数函数展开法274.2.2 Laplace变换法274.3 矩阵指数函数方法比较28III5 矩阵指数函数在微分方程中的应用306 总结33参考文献34致谢35IV天津科技大学2014届本科生毕业论文1 前言1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史在数学中，矩阵（Matrix）是很常用的工具，虽然Matrix亦有“子宫，或者控制中心的母体，孕育生命的地方”此类含义，然而矩阵却与生物没有太大的关联，矩阵（Matrix）是指在二维空间里的数据纵横分布形成的表格，最先起源于方程组的各项系数和常数所组成的方阵。矩阵的系统概念首先被英国的著名数学家凯利提出。实际上，虽然矩阵（Matrix）这
10、个概念诞生于19世纪，矩阵本身却有着非常古老的历史，早在很久以前就已发现幻方以及古老的拉丁方阵等关于矩阵方面相关研究记录。在我们平时遇到的相关问题中，在解决线性方程方面问题的时候都会用到矩阵，在古代中国，也有很多类似于矩阵方面研究载，在魏晋的刘徽所编著的数学巨著九章算术中，就已经提到了怎样求解线性方程组增广矩阵。书理用类似分离系数法的方法来表示线性方程组，在其一行乘以一个非零实数、把其中一行中和另一行相减等运算技巧，类似现在矩阵变换里面的初等变换。然而由于当时世界各地并没有系统的矩阵研究，也没有相关概念，所以仅仅以线性方程内的表示方法为标准和相关的处理方式记录在书中。在正常的逻辑中，矩阵系统这
11、个概念应该在行列式之前被提出，但是在实际的数学历史中却正好相反。在对行列式研究的体系慢慢完善起来之后，矩阵才慢慢进入数学家们的视野。在该领域的数学家中，日本非常有名的关孝和（1683年）与戈特弗里德威廉莱布尼茨（1693年）（微积分理论的提出者之一）在大致相同的时地独自建立了行列式理论。在这以后这一理论不断发展，其经常被用来求解线性方程组。1750年，加布里尔克拉默提出了克莱姆法则。随后，由于研究的需要，行数等于列数的行列式在解决重要的数学问题是有很大的局限性，无法满足实际需要。于是矩阵便应运而生。矩阵的当代概念体系在19世纪慢慢完成。实际上矩阵的概念与行列式的概念有本质上的区别，其使用也有很
12、大的不同。在这一领域的数学家中，1850年，英国的詹姆斯（James Joseph Sylvester）最开始使用矩阵这个名字将数字构成的矩形阵列和最开始的行列式分离。矩阵论体系的创立者一般被认为是英国著名数学家凯莱（Cayley），他将矩阵这个数学概念完全独立为一个新的数学对象，矩阵里面很多相关性质先在行列式问题的讨论中业已被发现，所以矩阵的概念的提出很容易被人接受。在1858年，凯莱（Cayley）在他所写的矩阵论的研究报告里面有体系地说明了矩阵的一些基本理论。在这篇报告里面作者规定了矩阵相等、算法、转置和矩阵基本概念，如逆矩阵的加法，给出了系列，互换性和约束力的概念。除此之外，凯莱（Ca
13、yley）亦在报告里写下了方阵的特征方程以及特征根还有矩阵的少许基本结论。此外，在之后关于矩阵系统的研究中，也有很多其他的数学家做出了重要的发现。德国数学家弗洛伯纽斯（Frobenius）最先提出了最小多项式的概念，矩阵中秩的概念介绍、不变的因素和主要因素、正交矩阵的相似变换，矩阵的其他概念，如合同、不变的因素和主要因素理论的逻辑排列的形式等等。在1854年，约丹首次发现了把一般矩阵化为标准型的方法。1892年，梅茨勒（Metzler）使用并发展了矩阵函数及其相关概念并用它们整理出矩阵幂级数的形式。另外，庞加莱（Poincare）以及傅立叶（Fourier）还探讨了与无限阶矩阵相关的一些问题。
14、到了这个时候，矩阵体系业已很完善了。1.2 本文的主要内容矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是研究其他矩阵函数的基础本文讨论的是矩阵函数中的一类函数矩阵指数函数。本论文的题目是矩阵指数函数的性质和计算，所以主要论述便是性质和计算。在文章的开始，本文会论述矩阵的相关发展与历史，在第二章会对本文用到的基本数学知识进行介绍，在文章的第三章，本文将会从齐次微分方程引入矩阵指数的概念，关于性质和计算部分主要在第四与第五章进行论述，性质部分论述了矩阵函数的性质，同时介绍了矩阵指数函数的相关特性；第五章将会介绍三种矩阵指数函数的计算方法，并会对这三种方法进行对比。最后本文将会介绍
15、矩阵指数函数在微分方程中的应用。2 预备知识为了课题讨论中便于理解，引入研究此论文所需矩阵的相关知识概念：在这里，表示对数域上矩阵的全部线性空间，因此表示复矩阵集。1、矩阵的谱 矩阵通过数学运算计算出来的特征值的集合就是一个矩阵的谱，通过数学表达式表示出来也就是：表示的谱，即；2、矩阵的谱半径 设是阶数为的矩阵，其中矩阵的特征值是，若写作数学表达式也就是：为A的谱半径。即矩阵的谱半径是矩阵中所有的特征值中最大模的值；如果矩阵特征值是虚数，则谱半径是特征值实部与虚部的平方和的算术平方根。3、矩阵的化零多项式与它的最小多项式定义2.1给定矩阵, 如果多项式满足，则称是的化零多项式。定义2.2 在的化零多项式中，各项中次数最低同时首项的系数为1的化零多项式可以称作是的最小多项式，记为。依据高等代数的基本定理，在复数域的范围里可以有如下证明：性质2.1 设 ,是中的个特征值，他们互不相同，为矩阵A的最小多项式同时,其中 如果函数的导数值拥有足够多阶，同时一下个值(称在影谱上的值) 有意义，则可以说函数在矩阵的谱影上有定义。一个函数在给定
