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1、南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题（共60分）1. 方程是 四 阶 线性 （“线性”或“非线性”） 非齐次 （“齐次”或“非齐次”）偏微分方程（3分）；2. 方程的全部解可写为=（是任意二阶连续可微函数） ；（3分）3. 二维Laplace方程的基本解为=；（3分）4. 若是非齐次波动方程的解，则满足的微分方程是；（3分）5. 方程的类型属于 双曲型或波动方程 ，其特征方程为或，特征曲线为 和 ，可以将其化为标准型的自变量变换为，若要消去一阶导数项，可以通过函数变换（其中待定）；（5分）6. 定解问题
2、属于初值 问题（“初值”或“边值”），其解的表达式为= ；定解问题属于Dirichlet边值问题（“Dirichlet”或“Neumann”），其中为的边界，若其存在古典解，则一定满足；（4分）7. 若满足初值问题，则满足的定解问题为 （4分）8. 对于端点自由的半无界弦振动问题，通过偶延拓（“奇延拓”或“偶延拓”）的方法，可以转化为无界弦振动问题；我们可以借助于三维波动方程初值问题解的Pisson表达式来获得二维波动方程初值问题解的表达式，这种方法称为 降维法；（3分）9. 用分离变量法求定解问题时，得到关于的特征值问题是，由此可以得到相应的特征值=，特征函数 = ；用分离变量法求定解问题时
3、，首先通过函数变换，将其转化为的齐次边界条件的定解问题，则可选为= ；用分离变量法求解稳定的非齐次定解问题时，通过函数代换，可以将其转化为齐次方程，齐次边界条件的定解问题，其中= ；（8分）10. 三维调和方程的解的积分表达式为= ，其中，为的边界，若区域上的Green函数记为，则（1）= ；(2)定解问题的解的表达式为= ，其中为边界上的单位外法向量；（6分）11. 作出四分之一平面的Green函数为 ；（3分）12. 用Fourier变换求解偏微分方程定解问题时，是通过Fourier变换把解偏微分方程的定解问题转化为含参数的常微分方程的定解问题，则对KdV方程的初值问题关于进行Fourier变换后的形式为 ；（3分）13. 的Fourier变换定义为= ，与的卷积定义为= ，若，则= ；（3分）14. = ；= ；（4分）15. 已知，则= ；= ；（4分）二，用DAlembert公式求解下列弦振动方程;（10分）三， （1）写出建立上半平面Green函数的详细过程；（2）用Green函数法求解下列定解问题;（15分）四， 利用Fourier变换求解下列定解问题；（15分）4
