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1、第二十六讲 面积问题评说 平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量,面积是平面几何中一个重要的概念,联系着几何图形中的重要元素边与角 计算图形的面积是几何问题中一种常见问题,求面积的基本方法有: 1直接法:根据面积公式和性质直接进行运算 2割补法:通过分割或补形,把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题 3等积法:根据面积的等积性质进行转化求解,常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化4等比法:将面积比转化为对应线段的比熟悉以下基本图形中常见的面积关系:注 等积定理:等底等高的两个三角形面积相等等比定理:(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比,同高(或等高
2、)的两个三角形面积之比等于对应底之比; (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比 例题求解 【例1】 在梯形ABCD中,ABCD,AC、BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为,AOB的面积为S1,COD的面积为S2,则= (山东省竞赛题)思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识,图形中有重要面积的关系:SAOD=SBOC=,S梯形ABCD=S1+S2+=(读者证明),于是将问题转化为求梯形ABCD的面积 【例2】 如图,在ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BDCE,BD4,CE=6,那么ABC的面积等于( )A12 B14 C16 D18(全国初中数学联赛试题)
3、 思路点拨 由中点想到三角形中位线,这样ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系,只要求出四边形BCDE面积即可 【例3】如图,P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点,AP与CQ相交于点E,且PAD=QAD,求证:S矩形ABCD=SAPQ (重庆市竞赛题) 思路点拨 把面积用相应的线段表示,面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明注意等线段的代换 【例4】 如图甲,AB、CD是两条线段,M是AB的中点,SDMC、SDAC、SDBC分别表示DMC、DAC、DBC的面积,当ABCD时,有SDMC = (1)如图乙,若图甲中AB不平行CD,式是否成立?请说明理由; (2)如图丙,若图甲中A
4、月与CD相交于点O时,问SDMC和SDAC和SDBC有何种相等关系?试证明你的结论 (安徽省中考题) 思路点拨 对于(1),因DMC、DAC、DBC同底,要判断式是否成立,只需寻找它们的高之间的关系:对于(2),由于M为AB中点,可利用等积变换得到相等的面积关系,通过建立含SDMC、SDAC、SDBC的等式寻找它们的关系注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识,要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证 通过强化或弱化条件,改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径 【例5】如图,设P为ABC内任意一点,直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、
5、F 求证:(1);(2) 思路点拨 过P点、A点分别作BC的垂线,这样既可得到平行线,产生比例线段,又可与面积联系起来,把羔转化为面积比,利用面积法证明注 有些几何问题,虽然题目中没有直接涉及面积,但由于面积关联着边角两个重要元素,所以我们可从面积角度思考问题,这就是常说的面积法 用面积法解题的基本步骤是: (1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积,得到一个含边或舍角的关系式 (2)化简这个面积关系式,直至得到求解或求证的结果 当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时,不妨用面积法试一试学力训练1如图,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米),如果每平方米种植鲜花20
6、株,那么这个菱形图案中共有鲜花 株(第14届“希望杯”邀请赛试题)2如图,矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2,那么阴影部分的面积为 (2003年上海市中考题) 3如图,在ABC中,B=CAD,则= (重庆市竞赛题)4如图,梯形ABCD中,ABCD,ABa,CD=b(ab),对角线AC与BD相交于O,BOC的面积为梯形ABCD的面积的,则= 5如图,在四边形ABCD中,A135,B=D=90,BC=2,AD=2,则四边形ABCD的面积为( ) A4 B4 C4 D 6 (湖北省荆州市中考题)6ABCD是边长为1的正方形,BPC是等边三角形,则厶BPD的面积为( ) A B C D (武汉市
7、选拔赛题)7如图,在ABC中,ACB90,分别以AC、AB为边,在ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB,作CKAB分别交AB和GH于D和K,则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为( ) AS1=S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定,与的大小有关(2002年8有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图),其中AB110m,BC=80m,CD=90m,EDC=135现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼,以下四个方案中,地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)9今有一块正方形土地,要在其上修筑两条笔直的道路,使道路将这块土地分成形状相同且面
8、积相等的4部分若道路的宽度可忽略不计,请设计4种不同的修筑方案(2000年山东省竞赛题) 10如图,已知梯形ABCD的面积为34cm2,AE=BF,CE与DF相交于O,OCD的面积为11cm2,求蝶形(阴影部分)的面积11探究规律: 如图a,已知:直线m n,A、B为直线n上两点,C、P为直线m上两点 (1)请写出图a中,面积相等的各对三角形 ; (2)如果A、B、C为三个定点,点P在m上移动,那么,无论P点移动到任何位置,总有 与ABC的面积相等理由是: 解决问题: 如图b,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图经过多年开垦荒地,现已变成如图c所示的形状,但承包土地与开垦荒地的
9、分界小路(即图c中折线CDE)还保留着张大爷想过正点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案(不计分界小路与直路的占地面积)(1)写出设计方案,并在图c中画出相应的图形;(2)说明方案设计理由 (河北省中考题)12如图,ABC中,AD与BE相交于F,已知SAFB=12cm2,SBFD=9cm2,SAFE=6cm2,那么四边形CDFE的面积为 cm2(我爱数学夏令营竞赛题)13如图,分别延长ABC的三边AB、BC、CA至A、B、C,使得AA=3AB,BB=3BC,CC=3AC,若SAB
10、C=1,则SABC= 14如图,设ABC的面积是1,D是边BC上一点,且,若在边AC上取一点,使四边形ABDE的面积为,则的值为 (天津市竞赛题)15如图,从等边三角形内一点向三边作垂线,已知这三条垂线段的长分别为1、3、5,则这个等边三角形的边长为 (全国初中数学联赛试题)16如图,E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连结AF、CE,设AF与CE的交点为G,则等于( ) A B C D (全国初中数学竞赛题)17如图,AEAB且AEAB,BCCD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是( )A50 B62 C65 D68 (山东省竞赛题)18如图,在
11、ADC中,EFBC,SAEF=SBCE,若SABC=1,则SCEF等于( ) A B C D (四川省竞赛题)19已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的一个钝角的大小是( ) A165 D135 C 150 D120 (“希望杯”邀请赛试题)20如图,在锐角ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R分别是ADF、BDE、CEF的三条中线的交点(1)求DEF与ABC的面积比;(2)求PDF与ADF的面积比;(3)求多边形PDQERF与ABC的面积比( “希望杯”邀请赛试题) 21如图,设凸四边形ABCD的一组对边AB、CD的中点分
12、别为K、M,求证:S四边形ABCD=SABM+SDCK22如图,已知D、E、F分别是锐角ABC的三边BC、CA、AB上的点,且AD、BE、CF相交于P点,AP=BP=CP=6,设PD =x,PE=y,PF=z,若xy+yz+ z x=28,求xyz的值23如图,在ABC中是否存在一点P,使得过P点的任意一直线都将ABC分成等积的两部分?为什么?24如图,以ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE,CAFG,BCHK,连结EF,GH,KD,求证:以EF,GH,KD为边可以构成一个三角形,并且所构成的三角形的面积等于ABC面积的3倍 (北京市竞赛题) 思考 如图,设G(也称重心)为ABC三条中线AD、BE、CF的交点,则,请读者证明1用心 爱心 专心